解説

方針・初手

積分

$$ a_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x,dx

$$

について、まず部分積分により $a_n$ と $a_{n-2}$ の関係を作る。

その後、得られた漸化式から $n a_{n-1}a_n$ が一定であることを示し、単調性 $a_n\geq a_{n+1}$ を使って $n a_n^2$ をはさみうちする。

解法1

まず $a_0,a_1$ は

$$ a_0=\int_0^{\pi/2}1,dx=\frac{\pi}{2},\qquad a_1=\int_0^{\pi/2}\sin x,dx=1

$$

である。

（1） 漸化式の証明

$n\geq 2$ とする。

$$ a_n=\int_0^{\pi/2}\sin^n x,dx =\int_0^{\pi/2}\sin^{n-1}x\sin x,dx

$$

と書き、部分積分を行う。$u=\sin^{n-1}x,\ dv=\sin x,dx$ とすると、$du=(n-1)\sin^{n-2}x\cos x,dx,\ v=-\cos x$ であるから、

$$ \begin{aligned} a_n &=\left[-\sin^{n-1}x\cos x\right]_0^{\pi/2} +(n-1)\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}x\cos^2x,dx. \end{aligned}

$$

端の項は、$x=0$ では $\sin x=0$、$x=\pi/2$ では $\cos x=0$ なので $0$ である。よって

$$ a_n=(n-1)\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}x\cos^2x,dx.

$$

ここで $\cos^2x=1-\sin^2x$ より、

$$ \begin{aligned} a_n &=(n-1)\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}x(1-\sin^2x),dx\\ &=(n-1)\left(\int_0^{\pi/2}\sin^{n-2}x,dx-\int_0^{\pi/2}\sin^nx,dx\right)\\ &=(n-1)(a_{n-2}-a_n). \end{aligned}

$$

したがって

$$ a_n=(n-1)a_{n-2}-(n-1)a_n

$$

であるから、

$$ n a_n=(n-1)a_{n-2}

$$

が成り立つ。

（2） $n a_{n-1}a_n=\dfrac{\pi}{2}$ の証明

$n\geq 1$ とする。

まず $n=1$ のとき、

$$ 1\cdot a_0a_1=\frac{\pi}{2}\cdot 1=\frac{\pi}{2}

$$

である。

次に $n\geq 2$ のとき、(1) より

$$ n a_n=(n-1)a_{n-2}

$$

である。両辺に $a_{n-1}$ を掛けると、

$$ n a_{n-1}a_n=(n-1)a_{n-2}a_{n-1}

$$

となる。

つまり、数列

$$ b_n=n a_{n-1}a_n

$$

は $b_n=b_{n-1}$ を満たす。したがって $b_n$ は一定であり、

$$ b_n=b_1=1\cdot a_0a_1=\frac{\pi}{2}

$$

である。

よって、すべての $n\geq 1$ に対して

$$ n a_{n-1}a_n=\frac{\pi}{2}

$$

が成り立つ。

（3） $a_n\geq a_{n+1}$ の証明

$0\leq x\leq \dfrac{\pi}{2}$ では

$$ 0\leq \sin x\leq 1

$$

である。

したがって、任意の $n=0,1,2,\cdots$ に対して

$$ \sin^n x\geq \sin^{n+1}x

$$

が成り立つ。これを $0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ まで積分すると、

$$ \int_0^{\pi/2}\sin^n x,dx\geq \int_0^{\pi/2}\sin^{n+1}x,dx

$$

となる。よって

$$ a_n\geq a_{n+1}

$$

である。

（4） $\displaystyle \lim_{n\to\infty}n a_n^2$ の計算

(2) より、

$$ n a_{n-1}a_n=\frac{\pi}{2}

$$

である。

また、(3) より

$$ a_{n-1}\geq a_n\geq a_{n+1}

$$

が成り立つ。

まず $a_{n-1}\geq a_n$ だから、

$$ a_{n-1}a_n\geq a_n^2

$$

である。したがって

$$ \frac{\pi}{2}=n a_{n-1}a_n\geq n a_n^2

$$

となる。

次に、(2) を $n+1$ に対して用いると、

$$ (n+1)a_n a_{n+1}=\frac{\pi}{2}

$$

である。ここで $a_n\geq a_{n+1}$ より、

$$ a_n^2\geq a_n a_{n+1}

$$

だから、

$$ (n+1)a_n^2\geq \frac{\pi}{2}

$$

となる。よって

$$ n a_n^2\geq \frac{n}{n+1}\cdot \frac{\pi}{2}

$$

である。

以上より、

$$ \frac{n}{n+1}\cdot \frac{\pi}{2}\leq n a_n^2\leq \frac{\pi}{2}

$$

が成り立つ。

ここで

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\cdot \frac{\pi}{2} =\frac{\pi}{2}

$$

であるから、はさみうちの原理より

$$ \lim_{n\to\infty} n a_n^2=\frac{\pi}{2}

$$

である。

解説

この問題の中心は、積分

$$ \int_0^{\pi/2}\sin^n x,dx

$$

に対して部分積分を行い、指数を $2$ だけ下げる漸化式を作ることである。

(2) は、(1) の漸化式をそのまま使うと

$$ n a_{n-1}a_n=(n-1)a_{n-2}a_{n-1}

$$

となり、左辺が $n$ を $1$ つ下げても変わらないことに注目する。

(4) では、$a_n$ の正確な値を求める必要はない。単調性

$$ a_{n-1}\geq a_n\geq a_{n+1}

$$

と、積が一定である関係

$$ n a_{n-1}a_n=\frac{\pi}{2}

$$

を組み合わせて、$n a_n^2$ を上下からはさむのが要点である。

答え

**(1)**

$n\geq 2$ のとき、

$$ n a_n=(n-1)a_{n-2}

$$

である。

**(2)**

$n\geq 1$ のとき、

$$ n a_{n-1}a_n=\frac{\pi}{2}

$$

である。

**(3)**

$n=0,1,2,\cdots$ に対して、

$$ a_n\geq a_{n+1}

$$

である。

**(4)**

$$ \lim_{n\to\infty} n a_n^2=\frac{\pi}{2}

$$