解説

方針・初手

共有点で共通の接線をもつので、その点の $x$ 座標を $t$ とおくと、関数値と微分係数がともに一致する。まず接線条件から $t$ を求め、その後に $a$ を決定する。

面積は、$f(x)$ の $x$ 軸との交点と $g(x)$ の $x$ 軸との交点を確認し、区間ごとに上下関係を分けて積分する。

解法1

共有点 $P$ の $x$ 座標を $t$ とおく。$g(x)=\sqrt{x-1}$ より、共有点では $t\geqq 1$ である。

まず導関数は

$$ f'(x)=\frac{1}{x},\qquad g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}

$$

である。点 $P$ で共通の接線をもつから、傾きが等しく、

$$ \frac{1}{t}=\frac{1}{2\sqrt{t-1}}

$$

が成り立つ。よって

$$ t=2\sqrt{t-1}

$$

であり、両辺は正なので平方して

$$ t^2=4(t-1)

$$

となる。したがって

$$ t^2-4t+4=0

$$

より

$$ (t-2)^2=0

$$

であるから、

$$ t=2

$$

である。

このとき

$$ g(2)=\sqrt{2-1}=1

$$

である。共有点であるから $f(2)=g(2)$ より

$$ a+\log 2=1

$$

となる。したがって

$$ a=1-\log 2

$$

である。条件 $a>0$ についても、$\log 2<1$ なので満たしている。

よって点 $P$ の座標は

$$ P=(2,1)

$$

である。

また、接線の傾きは

$$ f'(2)=\frac{1}{2}

$$

であるから、点 $(2,1)$ を通る接線 $l$ は

$$ y-1=\frac{1}{2}(x-2)

$$

すなわち

$$ y=\frac{x}{2}

$$

である。

次に、共有点が $P$ 以外に存在しないことを示す。

$a=1-\log 2$ であるから、$x\geqq 1$ において

$$ h(x)=f(x)-g(x)=1-\log 2+\log x-\sqrt{x-1}

$$

とおく。$h(2)=0$ である。

$x>1$ において

$$ h'(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2\sqrt{x-1}}

$$

である。これを変形すると

$$ h'(x)=\frac{2\sqrt{x-1}-x}{2x\sqrt{x-1}}

$$

となる。ここで $u=\sqrt{x-1}$ とおくと $x=u^2+1$ なので、分子は

$$ 2u-(u^2+1)=-(u-1)^2

$$

である。したがって

$$ h'(x)= -\frac{(\sqrt{x-1}-1)^2}{2x\sqrt{x-1}}\leqq 0

$$

であり、等号は $x=2$ のときに限る。

よって $h(x)$ は $x\geqq 1$ で単調に減少し、$h(2)=0$ であるから、

$$ 1\leqq x<2 \text{ では } h(x)>0,\qquad x>2 \text{ では } h(x)<0

$$

となる。したがって $h(x)=0$ となるのは $x=2$ のみであり、2曲線は点 $P$ 以外の共有点をもたない。

最後に、2曲線と $x$ 軸で囲まれた部分の面積を求める。

まず $f(x)$ と $x$ 軸の交点は

$$ 1-\log 2+\log x=0

$$

より

$$ \log x=\log 2-1

$$

であるから、

$$ x=\frac{2}{e}

$$

である。

また、$g(x)$ と $x$ 軸の交点は

$$ \sqrt{x-1}=0

$$

より

$$ x=1

$$

である。

囲まれる部分は、$x=\dfrac{2}{e}$ から $x=1$ までは $f(x)$ と $x$ 軸の間、$x=1$ から $x=2$ までは $f(x)$ と $g(x)$ の間である。したがって面積 $S$ は

$$ S=\int_{2/e}^{1} f(x),dx+\int_{1}^{2}{f(x)-g(x)},dx

$$

である。これはまとめて

$$ S=\int_{2/e}^{2} f(x),dx-\int_{1}^{2} g(x),dx

$$

と書ける。

まず

$$ \int f(x),dx=\int (1-\log 2+\log x),dx

$$

であるから、

$$ \int f(x),dx=x(1-\log 2)+x\log x-x=x\log\frac{x}{2}

$$

である。よって

$$ \begin{aligned} \int_{2/e}^{2} f(x),dx &= \left[x\log\frac{x}{2}\right]_{2/e}^{2} \end{aligned} $$

である。これを計算すると

$$ \begin{aligned} \left[x\log\frac{x}{2}\right]_{2/e}^{2} &= 2\log 1-\frac{2}{e}\log\frac{1}{e} \\ 0-\frac{2}{e}(-1) \\ \frac{2}{e} \end{aligned} $$

である。

また

$$ \begin{aligned} \int_{1}^{2} g(x),dx &= \int_{1}^{2}\sqrt{x-1},dx \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_{1}^{2}\sqrt{x-1},dx &= \left[\frac{2}{3}(x-1)^{3/2}\right]_{1}^{2} \\ \frac{2}{3} \end{aligned} $$

である。

したがって求める面積は

$$ S=\frac{2}{e}-\frac{2}{3}

$$

である。

解説

共通接線をもつという条件は、共有点での関数値の一致と微分係数の一致を意味する。今回は微分係数の一致だけで共有点の $x$ 座標が一意に決まり、その後で $a$ が決まる。

共有点が他にないことを示すには、差

$$ h(x)=f(x)-g(x)

$$

を考えるのが自然である。導関数が

$$ h'(x)= -\frac{(\sqrt{x-1}-1)^2}{2x\sqrt{x-1}}

$$

と平方の形で表されるため、単調性から零点の一意性が分かる。

面積では、$f(x)$ と $x$ 軸の交点が $x=\dfrac{2}{e}$、$g(x)$ と $x$ 軸の交点が $x=1$ であることに注意する。囲まれた部分は一つの積分だけでは表しにくいが、

$$ \int_{2/e}^{2} f(x),dx-\int_{1}^{2} g(x),dx

$$

と見れば計算が簡潔になる。

答え

**(1)**

$$ a=1-\log 2

$$

$$ P=(2,1)

$$

$$ l:\ y=\frac{x}{2}

$$

**(2)**

2曲線の差

$$ h(x)=1-\log 2+\log x-\sqrt{x-1}

$$

について、$x>1$ で

$$ h'(x)= -\frac{(\sqrt{x-1}-1)^2}{2x\sqrt{x-1}}\leqq 0

$$

であり、$h(2)=0$ である。よって共有点は $x=2$、すなわち点 $P$ のみである。

**(3)**

$$ \frac{2}{e}-\frac{2}{3}

$$