解説

方針・初手

接線で囲まれる面積は、まず接線の方程式を $t$ で表す。$0 \leqq x \leqq p$ で接線が $x$ 軸より上にあることを確認すれば、面積は接線の式を $0$ から $p$ まで積分すればよい。

曲線で囲まれる面積 $B$ は

$$ B=\int_0^p \log(2x+1),dx

$$

で求める。

解法1

**(1)**

曲線

$$ y=\log(2x+1)

$$

の導関数は

$$ y'=\frac{2}{2x+1}

$$

である。

したがって、点 $(t,\log(2t+1))$ における接線 $l_1$ の方程式は

$$ y=\frac{2}{2t+1}(x-t)+\log(2t+1)

$$

である。

この接線の $x=0$ における値は

$$ \log(2t+1)-\frac{2t}{2t+1}

$$

である。ここで $u=2t+1$ とおくと、$t>0$ より $u>1$ であり、

$$ \log u-\frac{u-1}{u}=\log u-1+\frac{1}{u}

$$

となる。関数

$$ h(u)=\log u-1+\frac{1}{u}

$$

について、

$$ h'(u)=\frac{1}{u}-\frac{1}{u^2}=\frac{u-1}{u^2}>0 \quad (u>1)

$$

かつ $h(1)=0$ であるから、$u>1$ で $h(u)>0$ である。

よって接線は $x=0$ で正であり、傾きも正であるから、$0\leqq x\leqq p$ で接線は $x$ 軸より上にある。したがって、面積 $A(t)$ は

$$ \begin{aligned} A(t) &=\int_0^p \left\{\frac{2}{2t+1}(x-t)+\log(2t+1)\right\},dx \\ &=\left[\frac{x^2}{2t+1}-\frac{2tx}{2t+1}+x\log(2t+1)\right]_0^p \\ &=\frac{p^2}{2t+1}-\frac{2pt}{2t+1}+p\log(2t+1). \end{aligned}

$$

ここで

$$ s=2t+1

$$

とおくと、$t>0$ より $s>1$ であり、$2t=s-1$ だから

$$ \begin{aligned} A(t) &=\frac{p^2-p(s-1)}{s}+p\log s \\ &=\frac{p(p+1)}{s}-p+p\log s. \end{aligned}

$$

よって

$$ F(s)=\frac{p(p+1)}{s}-p+p\log s \quad (s>1)

$$

を最小にすればよい。

微分すると

$$ F'(s)=-\frac{p(p+1)}{s^2}+\frac{p}{s} =\frac{p(s-p-1)}{s^2}

$$

である。

したがって、$1<s<p+1$ では $F'(s)<0$、$s>p+1$ では $F'(s)>0$ である。よって $F(s)$ は

$$ s=p+1

$$

で最小となる。

このとき

$$ 2t+1=p+1

$$

より

$$ t=\frac{p}{2}

$$

であり、最小値 $A$ は

$$ A=F(p+1)=\frac{p(p+1)}{p+1}-p+p\log(p+1)=p\log(p+1)

$$

である。

したがって

$$ A=p\log(p+1)

$$

である。

**(2)**

曲線 $C$ と $x$ 軸は、$\log(2x+1)=0$ より

$$ 2x+1=1

$$

すなわち

$$ x=0

$$

で交わる。

したがって、曲線 $C$ と $x$ 軸および直線 $x=p$ で囲まれた図形の面積 $B$ は

$$ B=\int_0^p \log(2x+1),dx

$$

である。

$u=2x+1$ とおくと、$du=2,dx$ であるから、

$$ \begin{aligned} B &=\frac{1}{2}\int_1^{2p+1}\log u,du \\ &=\frac{1}{2}\left[u\log u-u\right]_1^{2p+1} \\ &=\frac{1}{2}\left\{(2p+1)\log(2p+1)-(2p+1)+1\right\} \\ &=\frac{2p+1}{2}\log(2p+1)-p. \end{aligned}

$$

また、（1） より

$$ A=p\log(p+1)

$$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} \frac{A-B}{p} &=\frac{p\log(p+1)-\left\{\frac{2p+1}{2}\log(2p+1)-p\right\}}{p} \\ &=\log(p+1)-\frac{2p+1}{2p}\log(2p+1)+1 \\ &=\log\frac{p+1}{2p+1}-\frac{1}{2p}\log(2p+1)+1. \end{aligned}

$$

ここで

$$ \log\frac{p+1}{2p+1}\to \log\frac{1}{2}=-\log 2

$$

である。

また、与えられた

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{\log x}{x}=0

$$

を用いると、

$$ \frac{1}{2p}\log(2p+1)\to 0

$$

である。

よって

$$ \lim_{p\to\infty}\frac{A-B}{p}=1-\log 2

$$

である。

解説

接線で囲まれる面積は、接線が区間 $0\leqq x\leqq p$ で $x$ 軸より上にあることを確認してから積分するのが重要である。ここを確認せずに進めると、面積を単純な積分で表してよい理由が抜ける。

最小値の計算では、$s=2t+1$ とおくことで

$$ A(t)=\frac{p(p+1)}{s}-p+p\log s

$$

という1変数関数になり、微分によって $s=p+1$ が最小点だと分かる。

後半は、曲線下の面積を積分で求め、（1） の結果と比較するだけである。最後の極限では、支配的な項が $\log p$ 同士で打ち消され、定数 $1-\log 2$ が残る。

答え

**(1)**

$$ A=p\log(p+1)

$$

ただし、最小値は

$$ t=\frac{p}{2}

$$

のときにとる。

**(2)**

$$ \lim_{p\to\infty}\frac{A-B}{p}=1-\log 2

$$