解説

方針・初手

三角関数の和は、積和公式を使って望ましい形に整理する。特に、$\sin x$ を掛けることで $\cos 2kx$ の和が隣り合う正弦の差に変わり、和が途中で打ち消し合う。

極限付き積分は、被積分関数が $x=0$ で一見不定形になるが、得られた恒等式を用いて積分しやすい形に直す。

解法1

まず、積和公式

$$ 2\sin x\cos 2kx=\sin(2k+1)x-\sin(2k-1)x

$$

を用いる。

（1） 1つ目の等式を示す。

左辺は

$$ \begin{aligned} &\left(1+2\cos 2x+2\cos 4x+\cdots+2\cos 2nx\right)\sin x \\ &=\sin x+\sum_{k=1}^{n}2\sin x\cos 2kx \\ &=\sin x+\sum_{k=1}^{n}{\sin(2k+1)x-\sin(2k-1)x}. \end{aligned}

$$

この和は望遠和になり、

$$ \begin{aligned} &\sin x+{ \sin 3x-\sin x}+{\sin 5x-\sin 3x}+\cdots \\ &\quad+{\sin(2n+1)x-\sin(2n-1)x} \\ &=\sin(2n+1)x. \end{aligned}

$$

したがって

$$ \left(1+2\cos 2x+2\cos 4x+\cdots+2\cos 2nx\right)\sin x=\sin(2n+1)x

$$

が成り立つ。

次に、2つ目の等式を示す。

積和公式

$$ 2\sin(2k-1)x\sin x=\cos(2k-2)x-\cos 2kx

$$

を用いると、

$$ \begin{aligned} &2{\sin x+\sin 3x+\sin 5x+\cdots+\sin(2n-1)x}\sin x \\ &=\sum_{k=1}^{n}2\sin(2k-1)x\sin x \\ &=\sum_{k=1}^{n}{\cos(2k-2)x-\cos 2kx}. \end{aligned}

$$

これも望遠和になり、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^{n}{\cos(2k-2)x-\cos 2kx} &=(1-\cos 2x)+(\cos 2x-\cos 4x)+\cdots \\ &\quad+{\cos(2n-2)x-\cos 2nx} \\ &=1-\cos 2nx. \end{aligned}

$$

よって

$$ 2{\sin x+\sin 3x+\cdots+\sin(2n-1)x}\sin x=1-\cos 2nx.

$$

ここで

$$ 1-\cos 2nx=2\sin^2 nx

$$

であるから、

$$ {\sin x+\sin 3x+\cdots+\sin(2n-1)x}\sin x=\sin^2 nx

$$

が成り立つ。

（2） 求める極限は

$$ \lim_{a\to +0}\int_a^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(2n+1)x}{\sin x},dx

$$

である。

（1） の1つ目の等式より、$0<x\leqq \dfrac{\pi}{2}$ で

$$ \begin{aligned} \frac{\sin(2n+1)x}{\sin x} &= 1+2\cos 2x+2\cos 4x+\cdots+2\cos 2nx \end{aligned} $$

である。右辺は $x=0$ でも連続なので、

$$ \begin{aligned} \lim_{a\to +0}\int_a^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(2n+1)x}{\sin x},dx &=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(1+2\sum_{k=1}^{n}\cos 2kx\right),dx \\ &=\frac{\pi}{2}+2\sum_{k=1}^{n}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos 2kx,dx. \end{aligned}

$$

ここで

$$ \begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos 2kx,dx &= \left[\frac{\sin 2kx}{2k}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} \\ \frac{\sin k\pi}{2k}=0 \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \lim_{a\to +0}\int_a^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(2n+1)x}{\sin x},dx &= \frac{\pi}{2}. \end{aligned} $$

（3） 求める極限は

$$ \lim_{a\to +0}\int_a^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2 nx}{\sin^2 x},dx

$$

である。

次の恒等式を用いる。

$$ \begin{aligned} \frac{\sin^2 nx}{\sin^2 x} &= n+2\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)\cos 2kx \end{aligned} $$

を示してから積分する。

まず、（1） の1つ目の等式で $n$ を $m$ に置き換えると、

$$ \begin{aligned} \frac{\sin(2m+1)x}{\sin x} &= 1+2\sum_{k=1}^{m}\cos 2kx \end{aligned} $$

である。

また、（1） の2つ目の等式より

$$ \begin{aligned} \frac{\sin^2 nx}{\sin^2 x} &= \frac{\sin x+\sin 3x+\cdots+\sin(2n-1)x}{\sin x}. \end{aligned} $$

したがって

$$ \begin{aligned} \frac{\sin^2 nx}{\sin^2 x} &= \sum_{m=0}^{n-1}\frac{\sin(2m+1)x}{\sin x}. \end{aligned} $$

ここで $m=0$ の項は $1$ であり、$m\geqq 1$ では

$$ \begin{aligned} \frac{\sin(2m+1)x}{\sin x} &= 1+2\sum_{k=1}^{m}\cos 2kx \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} \frac{\sin^2 nx}{\sin^2 x} &=\sum_{m=0}^{n-1}\left(1+2\sum_{k=1}^{m}\cos 2kx\right) \\ &=n+2\sum_{m=1}^{n-1}\sum_{k=1}^{m}\cos 2kx. \end{aligned}

$$

二重和の順序を入れ替える。固定した $k$ に対し、$\cos 2kx$ は $m=k,k+1,\ldots,n-1$ の $n-k$ 回現れるから、

$$ \begin{aligned} \frac{\sin^2 nx}{\sin^2 x} &= n+2\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)\cos 2kx \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ \begin{aligned} \lim_{a\to +0}\int_a^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2 nx}{\sin^2 x},dx &=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left\{n+2\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)\cos 2kx\right\},dx \\ &=\frac{n\pi}{2}+2\sum_{k=1}^{n-1}(n-k)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos 2kx,dx. \end{aligned}

$$

先ほどと同様に

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos 2kx,dx=0

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \lim_{a\to +0}\int_a^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2 nx}{\sin^2 x},dx &= \frac{n\pi}{2}. \end{aligned} $$

解説

この問題の中心は、三角関数の和を積和公式で望遠和に変形することである。特に、$\cos 2kx$ に $\sin x$ を掛けると隣り合う奇数倍角の正弦の差になり、$\sin(2k-1)x$ に $\sin x$ を掛けると隣り合う偶数倍角の余弦の差になる。

（2） は （1） の1つ目の等式をそのまま割り算して使えば、積分区間の端 $x=0$ の問題を避けて、多項式的な三角関数の積分に帰着できる。

（3） は $\dfrac{\sin^2 nx}{\sin^2 x}$ を直接扱うより、（1） の2つの等式を組み合わせて、余弦の有限和に直すのが自然である。余弦項は $0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ まで積分するとすべて消えるため、定数項だけが残る。

答え

**(1)**

次の2つの等式はいずれも成り立つ。

$$ \left(1+2\cos 2x+2\cos 4x+\cdots+2\cos 2nx\right)\sin x=\sin(2n+1)x

$$

$$ {\sin x+\sin 3x+\sin 5x+\cdots+\sin(2n-1)x}\sin x=\sin^2 nx

$$

**(2)**

$$ \begin{aligned} \lim_{a\to +0}\int_a^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin(2n+1)x}{\sin x},dx &= \frac{\pi}{2} \end{aligned} $$

**(3)**

$$ \begin{aligned} \lim_{a\to +0}\int_a^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2 nx}{\sin^2 x},dx &= \frac{n\pi}{2} \end{aligned} $$