解説

方針・初手

まず指数関数が多項式より速く増大することを、与えられた不等式で確認する。これにより $x \to +0$ の極限を $x=e^{-t}$ と置いて処理できる。

その後、グラフは $f'(x), f''(x)$ の符号を調べればよい。面積は、$0<b<1$ では $f(x)<0$ となる範囲が $b \leqq x \leqq 1$ であることに注意して、符号を反転して積分する。

解法1

**(1)(ア)**

$t \geqq 0$ とする。指数関数のマクローリン展開を用いると、

$$ e^t=1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\cdots

$$

である。$t \geqq 0$ では右辺の各項はすべて $0$ 以上であるから、

$$ e^t \geqq 1+t+\frac{t^2}{2}

$$

となる。したがって、

$$ e^t>\frac{t^2}{2}

$$

が成り立つ。

**(1)(イ)**

$x=e^{-t}$ とおくと、$x \to +0$ のとき $t \to \infty$ である。また、

$$ f(x)=x^a\log x =(e^{-t})^a\log(e^{-t}) =e^{-at}(-t) =-te^{-at}

$$

である。

ここで、**(1)(ア)** より $at \geqq 0$ に対して

$$ e^{at}>\frac{(at)^2}{2}

$$

が成り立つ。したがって $t>0$ のとき、

$$ 0<te^{-at}=\frac{t}{e^{at}}<\frac{2}{a^2t}

$$

である。$t \to \infty$ とすると右辺は $0$ に近づくので、はさみうちの原理より

$$ te^{-at}\to 0

$$

である。よって、

$$ \lim_{x\to +0}f(x)=0

$$

である。ただし、$x \to +0$ では $f(x)<0$ なので、下側から $0$ に近づく。

**(2)**

まず導関数を求める。

$$ f'(x)=x^{a-1}(a\log x+1)

$$

$x^{a-1}>0$ であるから、$f'(x)$ の符号は $a\log x+1$ の符号で決まる。

$$ a\log x+1=0

$$

より、

$$ x=e^{-1/a}

$$

である。したがって、

$$ 0<x<e^{-1/a}

$$

で $f'(x)<0$、

$$ x>e^{-1/a}

$$

で $f'(x)>0$ である。よって $f(x)$ は $x=e^{-1/a}$ で最小値をとる。その値は

$$ f(e^{-1/a}) =(e^{-1/a})^a\log(e^{-1/a}) =e^{-1}\left(-\frac1a\right) =-\frac{1}{ae}

$$

である。

また、

$$ f(1)=0

$$

であり、$0<x<1$ では $\log x<0$ より $f(x)<0$、$x>1$ では $f(x)>0$ である。さらに **(1)(イ)** より、

$$ \lim_{x\to +0}f(x)=0

$$

であり、$x\to\infty$ では $f(x)\to\infty$ である。

次に変曲点を調べる。

$$ f''(x)=x^{a-2}{a(a-1)\log x+2a-1}

$$

$x^{a-2}>0$ であり、$a>1$ だから、$f''(x)=0$ は

$$ a(a-1)\log x+2a-1=0

$$

すなわち

$$ \log x=-\frac{2a-1}{a(a-1)}

$$

より、

$$ x=\exp\left(-\frac{2a-1}{a(a-1)}\right)

$$

である。$a(a-1)\log x+2a-1$ は $x$ の増加とともに増加するので、この点で $f''(x)$ の符号は負から正に変わる。

したがって変曲点の $x$ 座標は

$$ \exp\left(-\frac{2a-1}{a(a-1)}\right)

$$

である。

**(3)**

$0<b<1$ である。$b\leqq x\leqq 1$ では $\log x\leqq 0$ より $f(x)\leqq 0$ である。したがって、求める面積 $S(b)$ は

$$ S(b)=-\int_b^1 x^a\log x,dx

$$

である。

部分積分により、

$$ \begin{aligned} \int x^a\log x,dx &= \frac{x^{a+1}\log x}{a+1} -\int \frac{x^a}{a+1},dx \end{aligned} $$

だから、

$$ \begin{aligned} \int x^a\log x,dx &= \frac{x^{a+1}\log x}{a+1} -\frac{x^{a+1}}{(a+1)^2} \end{aligned} $$

である。よって、

$$ \begin{aligned} S(b) &=-\left[ \frac{x^{a+1}\log x}{a+1} -\frac{x^{a+1}}{(a+1)^2} \right]_b^1\\ &=-\left\{ -\frac{1}{(a+1)^2} -\frac{b^{a+1}\log b}{a+1} +\frac{b^{a+1}}{(a+1)^2} \right\}\\ &= \frac{1-b^{a+1}}{(a+1)^2} +\frac{b^{a+1}\log b}{a+1} \end{aligned}

$$

である。

**(4)**

（3） より、

$$ S(b)= \frac{1-b^{a+1}}{(a+1)^2} +\frac{b^{a+1}\log b}{a+1}

$$

である。

$b=e^{-t}$ とおくと、$b\to +0$ のとき $t\to\infty$ であり、

$$ \begin{aligned} b^{a+1}\log b &= e^{-(a+1)t}(-t) \\ -te^{-(a+1)t} \end{aligned} $$

である。**(1)(ア)** と同様に、指数関数の増大の方が $t$ より速いので、

$$ te^{-(a+1)t}\to 0

$$

である。したがって、

$$ b^{a+1}\log b\to 0

$$

また、

$$ b^{a+1}\to 0

$$

である。よって、

$$ \begin{aligned} \lim_{b\to +0}S(b) &= \frac{1}{(a+1)^2} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は、$x\to +0$ における $x^a\log x$ の極限処理である。$\log x$ は $-\infty$ に発散するが、$x^a$ が $0$ に近づく効果の方が強いため、積全体は $0$ に近づく。

グラフについては、$f'(x)$ で増減、$f''(x)$ で凹凸を調べるのが基本である。特に $a>1$ なので、$x\to +0$ で $f(x)\to 0$ となるだけでなく、導関数や第2導関数の符号調査も通常通り進められる。

面積では、$0<b<1$ の範囲で曲線が $x$ 軸の下側にある点を見落とさないことが重要である。そのため、面積は $\int_b^1 f(x),dx$ ではなく、$-\int_b^1 f(x),dx$ として計算する。

答え

**(1)(ア)**

$$ e^t>\frac{t^2}{2} \quad (t\geqq 0)

$$

**(1)(イ)**

$$ \lim_{x\to +0}f(x)=0

$$

**(2)**

グラフは、$x\to +0$ で $0$ に下側から近づき、$x=e^{-1/a}$ で最小値

$$ -\frac{1}{ae}

$$

をとり、$x=1$ で $x$ 軸と交わり、その後 $+\infty$ に増加する。

変曲点の $x$ 座標は

$$ \exp\left(-\frac{2a-1}{a(a-1)}\right)

$$

である。

**(3)**

$$ S(b)= \frac{1-b^{a+1}}{(a+1)^2} +\frac{b^{a+1}\log b}{a+1}

$$

**(4)**

$$ \begin{aligned} \lim_{b\to +0}S(b) &= \frac{1}{(a+1)^2} \end{aligned} $$