解説

方針・初手

(1) は $x$ のまま扱うより、$t=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ とおくと単調性で示しやすい。

(2) は (1) から $x\log x$ の下からの評価を作り、上からは $\log x\leqq 0$ を用いてはさみうちをする。

(3) は導関数と極限から概形を決める。

(4) は、縦方向の長さが $0-x\log x$ であることから定積分で面積を表す。

解法1

**(1)**

$0<x\leqq 1$ とする。ここで

$$ t=\frac{1}{\sqrt{x}}

$$

とおくと、$t\geqq 1$ であり、$x=\dfrac{1}{t^2}$ である。

このとき

$$ \begin{aligned} f(x) &=\log x-\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\\ &=\log \frac{1}{t^2}-\frac{1}{t}+t\\ &=-2\log t-\frac{1}{t}+t. \end{aligned}

$$

そこで

$$ h(t)=t-\frac{1}{t}-2\log t \qquad (t\geqq 1)

$$

とおく。

導関数は

$$ \begin{aligned} h'(t) &=1+\frac{1}{t^2}-\frac{2}{t}\\ &=\frac{(t-1)^2}{t^2}. \end{aligned}

$$

$t\geqq 1$ において $h'(t)\geqq 0$ であるから、$h(t)$ は $t\geqq 1$ で単調増加である。

また、

$$ h(1)=1-1-2\log 1=0

$$

である。したがって $t\geqq 1$ において

$$ h(t)\geqq h(1)=0

$$

である。

よって

$$ f(x)\geqq 0

$$

が成り立つ。

**(2)**

$0<x\leqq 1$ のとき、$\log x\leqq 0$ であるから

$$ x\log x\leqq 0

$$

である。

一方、(1) より

$$ \log x-\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\geqq 0

$$

なので、

$$ \log x\geqq \sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}

$$

である。両辺に正の数 $x$ をかけると、

$$ x\log x\geqq x\sqrt{x}-\frac{x}{\sqrt{x}}

$$

すなわち

$$ x\log x\geqq x^{3/2}-\sqrt{x}

$$

である。

ここで $0<x\leqq 1$ より $x^{3/2}\geqq 0$ だから、

$$ x^{3/2}-\sqrt{x}\geqq -\sqrt{x}

$$

である。したがって

$$ -\sqrt{x}\leqq x\log x\leqq 0

$$

が成り立つ。

$x\to +0$ のとき

$$ -\sqrt{x}\to 0,\qquad 0\to 0

$$

であるから、はさみうちの原理より

$$ \lim_{x\to +0}x\log x=0

$$

である。

**(3)**

関数

$$ y=x\log x

$$

の定義域は $x>0$ である。

(2) より

$$ \lim_{x\to +0}x\log x=0

$$

である。ただし $x=0$ では定義されない。

また、

$$ y=x\log x=0

$$

となるのは

$$ x=1

$$

のときである。

導関数は

$$ y'=\log x+1

$$

である。したがって

$$ y'=0

$$

となるのは

$$ \log x=-1

$$

すなわち

$$ x=\frac{1}{e}

$$

のときである。

増減は次のようになる。

$$ \begin{cases} 0<x<\dfrac{1}{e} & \text{で } y'<0,\\ x>\dfrac{1}{e} & \text{で } y'>0. \end{cases}

$$

よって、$x=\dfrac{1}{e}$ で最小値をとる。その値は

$$ \frac{1}{e}\log \frac{1}{e}=-\frac{1}{e}

$$

である。

したがって、グラフは次の特徴をもつ。

$0<x<1$ では $y<0$、$x=1$ で $x$ 軸と交わり、$x>1$ では $y>0$ である。また、$x\to +0$ で原点に下側から近づき、$x=\dfrac{1}{e}$ で最小値 $-\dfrac{1}{e}$ をとった後、増加していく。

**(4)**

$0<a<1$ とする。領域は

$$ a\leqq x\leqq 1,\qquad x\log x\leqq y\leqq 0

$$

で表される。

$0<x\leqq 1$ において $x\log x\leqq 0$ であるから、縦方向の長さは

$$ 0-x\log x=-x\log x

$$

である。

したがって面積 $S(a)$ は

$$ S(a)=\int_a^1 -x\log x,dx

$$

である。

部分積分により

$$ \int x\log x,dx =\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} S(a) &=-\int_a^1 x\log x,dx\\ &=-\left[\frac{x^2}{2}\log x-\frac{x^2}{4}\right]_a^1\\ &=-\left\{-\frac{1}{4}-\left(\frac{a^2}{2}\log a-\frac{a^2}{4}\right)\right\}\\ &=\frac{1}{4}+\frac{a^2}{2}\log a-\frac{a^2}{4}. \end{aligned}

$$

ここで、(2) より

$$ \lim_{u\to +0}u\log u=0

$$

である。$u=a^2$ とおくと、$a\to +0$ のとき $u\to +0$ であり、

$$ a^2\log a=\frac{1}{2}a^2\log a^2=\frac{1}{2}u\log u\to 0

$$

である。

また、

$$ a^2\to 0

$$

であるから、

$$ \lim_{a\to +0}S(a)=\frac{1}{4}

$$

である。

解説

(1) はそのまま微分してもよいが、$t=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ とおくことで、式が

$$ t-\frac{1}{t}-2\log t

$$

という扱いやすい形になる。導関数が平方の形になるため、不等式の証明として自然である。

(2) では、$x\log x$ が $0$ 以下であることはすぐに分かる。問題は下からの評価であり、(1) を使って

$$ x\log x\geqq -\sqrt{x}

$$

を作るところが要点である。

(3) は、$x\to +0$ での極限、零点、増減、最小値を調べれば概形が決まる。特に $x=0$ では定義されないが、グラフは原点に近づく点に注意する。

(4) は、グラフと $x$ 軸で囲まれる部分の面積を積分で表す問題である。最後に $a^2\log a\to 0$ を示すところで、(2) の結果を再利用する。

答え

**(1)**

$0<x\leqq 1$ において

$$ f(x)=\log x-\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\geqq 0

$$

である。

**(2)**

$$ \lim_{x\to +0}x\log x=0

$$

である。

**(3)**

$y=x\log x$ のグラフは、$x\to +0$ で原点に下側から近づき、$x=\dfrac{1}{e}$ で最小値 $-\dfrac{1}{e}$ をとり、$x=1$ で $x$ 軸と交わった後、増加する。

**(4)**

$$ \lim_{a\to +0}S(a)=\frac{1}{4}

$$