基礎問題集
数学3 積分法「接線・極限との複合」の問題33 解説
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解説
方針・初手
（1） は $x^2e^{-x}$ を関数として見て、$x \geqq 2$ で単調減少することを示す。
（2） は積分変数と上端の $x$ を区別するため、
$$ \int_0^x xe^{-x},dx
$$
を
$$ \int_0^x te^{-t},dt
$$
と書き直して計算する。
解法1
**(1)**
$$ f(x)=x^2e^{-x}
$$
とおく。これを微分すると、
$$ f'(x)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=x(2-x)e^{-x}
$$
である。
$x \geqq 2$ のとき、$x>0,\ e^{-x}>0,\ 2-x \leqq 0$ であるから、
$$ f'(x)\leqq 0
$$
である。
したがって、$f(x)=x^2e^{-x}$ は $x \geqq 2$ で単調減少する。よって $x \geqq 2$ では、$x=2$ のとき最大となり、
$$ x^2e^{-x}\leqq 2^2e^{-2}=4e^{-2}
$$
である。これで
$$ x^2e^{-x}\leqq 4e^{-2}
$$
が示された。
また、$x \geqq 2$ において、
$$ 0\leqq xe^{-x}=\frac{x^2e^{-x}}{x}\leqq \frac{4e^{-2}}{x}
$$
である。
ここで、
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{4e^{-2}}{x}=0
$$
だから、はさみうちの原理より、
$$ \lim_{x\to\infty}xe^{-x}=0
$$
である。
**(2)**
積分変数を $t$ として、
$$ \int_0^x te^{-t},dt
$$
を計算する。部分積分を用いる。
$$ \begin{aligned} \int_0^x te^{-t},dt &=\left[-te^{-t}\right]_0^x+\int_0^x e^{-t},dt \\ &=-xe^{-x}+\left[-e^{-t}\right]_0^x \\ &=-xe^{-x}+\left(1-e^{-x}\right) \\ &=1-(x+1)e^{-x} \end{aligned}
$$
したがって、
$$ \begin{aligned} \lim_{x\to\infty}\int_0^x te^{-t},dt &= \lim_{x\to\infty}\left\{1-(x+1)e^{-x}\right\} \end{aligned} $$
である。
（1） より、
$$ \lim_{x\to\infty}xe^{-x}=0
$$
であり、また $e^{-x}\to 0$ であるから、
$$ \begin{aligned} \lim_{x\to\infty}(x+1)e^{-x} &= \lim_{x\to\infty}xe^{-x}+\lim_{x\to\infty}e^{-x} =0 \end{aligned} $$
となる。
よって、
$$ \lim_{x\to\infty}\int_0^x te^{-t},dt=1
$$
である。
解説
指数関数 $e^{-x}$ は $x$ が大きくなると急速に $0$ に近づくが、入試では「急速に小さくなる」という感覚だけでは証明にならない。
そこで （1） では、$x^2e^{-x}$ が $x\geqq 2$ で有界であることを示し、そこから
$$ 0\leqq xe^{-x}\leqq \frac{4e^{-2}}{x}
$$
として、はさみうちの原理で $xe^{-x}\to 0$ を導く。
（2） では部分積分により、積分の極限を $xe^{-x}$ の極限に帰着させるのが自然である。（1） はそのための準備になっている。
答え
**(1)**
$$ x\geqq 2 \text{ のとき } x^2e^{-x}\leqq 4e^{-2}
$$
また、
$$ \lim_{x\to\infty}xe^{-x}=0
$$
**(2)**
$$ \lim_{x\to\infty}\int_0^x te^{-t},dt=1
$$