解説

方針・初手

各 $t$ に対して直線 $\ell_t$ が第1象限で切り取る部分は、$x$ 軸上の点 $(1-t,0)$ と $y$ 軸上の点 $(0,t)$ を結ぶ線分である。

したがって、点 $(x,y)$ がある $\ell_t$ 上にある条件を、$t$ について解ける条件として調べる。最も自然なのは、直線の式を切片形に直すことである。

解法1

直線

$$ tx+(1-t)y=t(1-t)

$$

において $0<t<1$ であるから、両辺を $t(1-t)$ で割ると

$$ \frac{x}{1-t}+\frac{y}{t}=1

$$

となる。

したがって、点 $(x,y)$ が、ある $t$ に対する $\ell_t$ の第1象限内の部分を通過するための条件は

$$ \frac{x}{1-t}+\frac{y}{t}=1

$$

を満たす $t$ が $0<t<1$ に存在することである。

ここで、$x>0,\ y>0$ を固定し、

$$ f(t)=\frac{x}{1-t}+\frac{y}{t} \quad (0<t<1)

$$

とおく。

相加相乗平均より

$$ \frac{x}{1-t}+\frac{y}{t} \geq \left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2

$$

である。実際、等号は

$$ \begin{aligned} \frac{x}{1-t}:\frac{y}{t} &= \sqrt{x}:\sqrt{y} \end{aligned} $$

すなわち

$$ t=\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}

$$

のときに成立する。この $t$ は $x>0,\ y>0$ のもとで確かに $0<t<1$ を満たす。

また、$t\to 0+,\ 1-$ のとき $f(t)\to \infty$ であるから、方程式 $f(t)=1$ が $0<t<1$ に解をもつための条件は

$$ \left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\leq 1

$$

である。

よって、求める領域は

$$ \sqrt{x}+\sqrt{y}\leq 1,\quad x>0,\quad y>0

$$

である。

境界は

$$ \sqrt{x}+\sqrt{y}=1

$$

すなわち

$$ y=(1-\sqrt{x})^2 \quad (0\leq x\leq 1)

$$

である。したがって、第1象限で通過する部分は、座標軸と曲線

$$ y=(1-\sqrt{x})^2

$$

に囲まれた部分である。

面積 $S$ は

$$ S=\int_0^1 (1-\sqrt{x})^2,dx

$$

である。これを計算すると

$$ \begin{aligned} S &=\int_0^1 \left(1-2\sqrt{x}+x\right),dx\\ &=\left[x-\frac{4}{3}x^{3/2}+\frac{1}{2}x^2\right]_0^1\\ &=1-\frac{4}{3}+\frac{1}{2}\\ &=\frac{1}{6} \end{aligned}

$$

となる。

解法2

直線の式を $t$ について整理する。

$$ tx+(1-t)y=t(1-t)

$$

より

$$ y+t(x-y)=t-t^2

$$

であるから、

$$ t^2+t(x-y-1)+y=0

$$

となる。

点 $(x,y)$ を通る直線 $\ell_t$ が存在するためには、この2次方程式が $0<t<1$ に解をもつ必要がある。

ただし、領域の境界は、2つの直線が重なるように見える包絡線で与えられる。そこで

$$ F(x,y,t)=tx+(1-t)y-t(1-t)

$$

とおく。包絡線は

$$ F(x,y,t)=0,\quad \frac{\partial F}{\partial t}=0

$$

を満たす点の軌跡である。

まず

$$ F(x,y,t)=tx+(1-t)y-t(1-t)=0

$$

であり、

$$ \begin{aligned} \frac{\partial F}{\partial t} &= x-y-1+2t \end{aligned} $$

だから、包絡線上では

$$ x-y-1+2t=0

$$

すなわち

$$ t=\frac{1-x+y}{2}

$$

である。

これを元の式に代入して整理するより、包絡線は

$$ \sqrt{x}+\sqrt{y}=1

$$

となる。

したがって、領域は第1象限内で

$$ \sqrt{x}+\sqrt{y}\leq 1

$$

を満たす部分である。

これは

$$ y=(1-\sqrt{x})^2 \quad (0\leq x\leq 1)

$$

の下側の領域であるから、面積は

$$ \begin{aligned} S &=\int_0^1 (1-\sqrt{x})^2,dx\\ &=\int_0^1 \left(1-2\sqrt{x}+x\right),dx\\ &=1-\frac{4}{3}+\frac{1}{2}\\ &=\frac{1}{6} \end{aligned}

$$

である。

解説

各直線は、$x$ 軸上の $(1-t,0)$ と $y$ 軸上の $(0,t)$ を結ぶ線分である。$t$ が $0$ から $1$ まで動くと、この線分の両端はそれぞれ軸上を動き、その通過領域は単なる三角形ではなく、曲線

$$ \sqrt{x}+\sqrt{y}=1

$$

を境界にもつ領域になる。

この問題では、直線の式を

$$ \frac{x}{1-t}+\frac{y}{t}=1

$$

と見て、固定した点 $(x,y)$ に対して適当な $t$ が存在するかを考えるのが最も処理しやすい。包絡線を使う解法も有効だが、存在条件まで丁寧に確認するには、解法1のように最小値を調べる方が安全である。

答え

通過する部分は、第1象限内で

$$ \sqrt{x}+\sqrt{y}\leq 1

$$

を満たす領域、すなわち座標軸と

$$ y=(1-\sqrt{x})^2 \quad (0\leq x\leq 1)

$$

に囲まれた部分である。

その面積は

$$ \boxed{\frac{1}{6}}

$$