解説

方針・初手

与えられた級数は、初項も公比も

$$ \frac{1}{x^2+x+1}

$$

である無限等比級数である。したがって、まず公比の絶対値が $1$ 未満になる条件を調べる。

また、収束するときの和は等比級数の和の公式から求められるので、それを $f(x)$ として整理すれば、グラフや面積計算に進める。

解法1

与えられた級数を

$$ \sum_{r=1}^{\infty}\frac{1}{(x^2+x+1)^r}

$$

と見る。この級数は公比

$$ \frac{1}{x^2+x+1}

$$

の無限等比級数である。

ここで

$$ x^2+x+1=\left(x+\frac12\right)^2+\frac34>0

$$

であるから、公比は常に正である。

無限等比級数が収束する条件は、公比の絶対値が $1$ 未満であることなので、

$$ \left|\frac{1}{x^2+x+1}\right|<1

$$

であればよい。分母は正だから、これは

$$ \frac{1}{x^2+x+1}<1

$$

と同値である。よって

$$ x^2+x+1>1

$$

すなわち

$$ x^2+x>0

$$

である。したがって

$$ x(x+1)>0

$$

より、

$$ x<-1,\quad 0<x

$$

を得る。

よって収束する $x$ の範囲 $D$ は

$$ D=(-\infty,-1)\cup(0,\infty)

$$

である。

次に、$x\in D$ に対して、この無限等比級数の和を $f(x)$ とする。等比級数の和の公式より、

$$ f(x)=\frac{\dfrac{1}{x^2+x+1}}{1-\dfrac{1}{x^2+x+1}}

$$

である。これを整理すると、

$$ \begin{aligned} f(x) &=\frac{1}{x^2+x+1-1}\\ &=\frac{1}{x^2+x}\\ &=\frac{1}{x(x+1)} \end{aligned}

$$

となる。

したがって、$D$ 上で

$$ f(x)=\frac{1}{x(x+1)}

$$

である。

グラフの概形を調べる。微分すると、

$$ f'(x)=-\frac{2x+1}{(x^2+x)^2}

$$

である。

$D$ は $(-\infty,-1)$ と $(0,\infty)$ の2つの区間からなる。$(-\infty,-1)$ では $2x+1<0$ だから

$$ f'(x)>0

$$

であり、$f(x)$ は単調増加する。一方、$(0,\infty)$ では $2x+1>0$ だから

$$ f'(x)<0

$$

であり、$f(x)$ は単調減少する。

また、

$$ \lim_{x\to -\infty}f(x)=0,\qquad \lim_{x\to -1-0}f(x)=+\infty

$$

であり、

$$ \lim_{x\to +0}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to \infty}f(x)=0

$$

である。

よって、グラフは $x=-1$ と $x=0$ を縦の漸近線、$y=0$ を横の漸近線にもつ。定義域は $x<-1$ と $x>0$ のみであり、$-1<x<0$ にはグラフは存在しない。

次に、自然数 $n\geqq 2$ に対して、曲線 $y=f(x)$、$x$ 軸、直線 $x=1$、直線 $x=n$ で囲まれた部分の面積を $S_n$ とする。

区間 $1\leqq x\leqq n$ では $x>0$ なので $f(x)>0$ である。したがって面積は

$$ S_n=\int_1^n f(x),dx

$$

である。

ここで

$$ f(x)=\frac{1}{x(x+1)}

$$

であり、部分分数分解すると

$$ \frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}

$$

である。よって

$$ \begin{aligned} S_n &=\int_1^n \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right),dx\\ &=\left[\log x-\log(x+1)\right]_1^n\\ &=\log n-\log(n+1)-{\log 1-\log 2}\\ &=\log\frac{n}{n+1}+\log 2\\ &=\log\frac{2n}{n+1} \end{aligned}

$$

となる。

したがって

$$ S_n=\log\frac{2n}{n+1}

$$

である。

最後に極限を求める。

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}S_n &= \lim_{n\to\infty}\log\frac{2n}{n+1} \end{aligned} $$

である。ここで

$$ \frac{2n}{n+1}=\frac{2}{1+\frac1n}

$$

だから、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{2n}{n+1}=2

$$

である。ゆえに

$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\log 2

$$

である。

解説

この問題の中心は、与えられた級数を無限等比級数として正しく見ることである。

公比は

$$ \frac{1}{x^2+x+1}

$$

であり、$x^2+x+1$ は常に正である。そのため、収束条件は単に

$$ x^2+x+1>1

$$

として処理できる。

収束後の和は

$$ f(x)=\frac{1}{x(x+1)}

$$

となるが、この関数は全実数で定義されるわけではない。問題で定義される $f(x)$ の定義域はあくまで級数が収束する範囲

$$ D=(-\infty,-1)\cup(0,\infty)

$$

である。したがって、グラフを描くときに $-1<x<0$ の部分を描いてはいけない。

面積計算では、区間 $[1,n]$ が定義域 $(0,\infty)$ に含まれており、かつ $f(x)>0$ であるため、そのまま定積分で面積を求められる。部分分数分解

$$ \frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}

$$

が最も重要な処理である。

答え

**(1)**

$$ D=(-\infty,-1)\cup(0,\infty)

$$

**(2)**

$$ f(x)=\frac{1}{x(x+1)} \qquad \left(x\in D\right)

$$

グラフは、$x=-1$ と $x=0$ を縦の漸近線、$y=0$ を横の漸近線にもつ。$x<-1$ では単調増加し、$x>0$ では単調減少する。$-1<x<0$ にはグラフは存在しない。

**(3)**

$$ S_n=\log\frac{2n}{n+1}

$$

**(4)**

$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\log 2

$$