解説

方針・初手

$ I_n $ の integrand は

$$ \frac{(x-3)^n}{n x^n}=\frac{1}{n}\left(\frac{x-3}{x}\right)^n

$$

であるから、まず $ \dfrac{x-3}{x} $ の範囲を調べる。さらに $ I_{n+1} $ と $ I_n $ の関係は、$ \left(\dfrac{x-3}{x}\right)^{n+1} $ を部分積分することで得られる。

解法1

まず $ n=1 $ のとき、

$$ I_1=\int_2^3 \frac{x-3}{x},dx =\int_2^3 \left(1-\frac{3}{x}\right),dx

$$

である。よって

$$ I_1=\left[x-3\log x\right]_2^3 =1-3\log\frac{3}{2}

$$

となる。

次に、$ 2\leqq x\leqq 3 $ において

$$ \frac{x-3}{x}=1-\frac{3}{x}

$$

である。$ x=2 $ のとき $ -\dfrac{1}{2} $、$ x=3 $ のとき $ 0 $ であり、この関数は単調増加であるから、

$$ -\frac{1}{2}\leqq \frac{x-3}{x}\leqq 0

$$

したがって、

$$ 0\leqq \left|\frac{x-3}{x}\right|\leqq \frac{1}{2}

$$

である。

これより

$$ |I_n| =\left|\int_2^3 \frac{1}{n}\left(\frac{x-3}{x}\right)^n dx\right| \leqq \int_2^3 \frac{1}{n}\left|\frac{x-3}{x}\right|^n dx \leqq \frac{1}{n}\left(\frac{1}{2}\right)^n

$$

となる。右辺は $ n\to\infty $ で $ 0 $ に収束するので、はさみうちの原理より

$$ \lim_{n\to\infty} I_n=0

$$

である。

次に $ I_{n+1} $ を $ I_n $ で表す。ここで

$$ t=\frac{x-3}{x}

$$

とおくと、

$$ t'= \frac{3}{x^2}

$$

である。$ I_{n+1} $ は

$$ I_{n+1}=\frac{1}{n+1}\int_2^3 \left(\frac{x-3}{x}\right)^{n+1}dx

$$

である。

部分積分により、

$$ \begin{aligned} I_{n+1} &=\left[\frac{x}{n+1}\left(\frac{x-3}{x}\right)^{n+1}\right]_2^3 -\int_2^3 \frac{x}{n+1}(n+1)\left(\frac{x-3}{x}\right)^n\frac{3}{x^2},dx\\ &=-\frac{2}{n+1}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1} -3\int_2^3 \frac{1}{x}\left(\frac{x-3}{x}\right)^n dx \end{aligned}

$$

である。

また、

$$ \frac{x-3}{x}=1-\frac{3}{x}

$$

より

$$ \frac{3}{x}=1-\frac{x-3}{x}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} 3\int_2^3 \frac{1}{x}\left(\frac{x-3}{x}\right)^n dx &= \int_2^3 \left(\frac{x-3}{x}\right)^n dx -\int_2^3 \left(\frac{x-3}{x}\right)^{n+1}dx \end{aligned} $$

となる。ここで

$$ \int_2^3 \left(\frac{x-3}{x}\right)^n dx=nI_n

$$

かつ

$$ \int_2^3 \left(\frac{x-3}{x}\right)^{n+1}dx=(n+1)I_{n+1}

$$

である。したがって

$$ 3\int_2^3 \frac{1}{x}\left(\frac{x-3}{x}\right)^n dx =nI_n-(n+1)I_{n+1}

$$

である。

これを部分積分で得た式に代入すると、

$$ \begin{aligned} I_{n+1} &= -\frac{2}{n+1}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1} -{nI_n-(n+1)I_{n+1}} \end{aligned} $$

となる。整理して

$$ \begin{aligned} nI_{n+1} &= nI_n+\frac{2}{n+1}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1} \end{aligned} $$

である。ここで

$$ \begin{aligned} 2\left(-\frac{1}{2}\right)^{n+1} &= -\left(-\frac{1}{2}\right)^n \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} I_{n+1} &= I_n-\frac{1}{n(n+1)}\left(-\frac{1}{2}\right)^n \end{aligned} $$

を得る。

したがって

$$ \begin{aligned} \frac{1}{n(n+1)}\left(-\frac{1}{2}\right)^n &= I_n-I_{n+1} \end{aligned} $$

である。よって、$ N $ まで和をとると

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{N}\frac{1}{n(n+1)}\left(-\frac{1}{2}\right)^n &= \sum_{n=1}^{N}(I_n-I_{n+1}) \\ I_1-I_{N+1} \end{aligned} $$

となる。

$ \displaystyle \lim_{n\to\infty}I_n=0 $ であるから、$ N\to\infty $ とすると

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\left(-\frac{1}{2}\right)^n &= I_1 \\ 1-3\log\frac{3}{2} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は、$ I_n $ が

$$ I_n=\frac{1}{n}\int_2^3 \left(\frac{x-3}{x}\right)^n dx

$$

という形であることに気づく点である。

$ \left|\dfrac{x-3}{x}\right|\leqq \dfrac{1}{2} $ が分かれば、$ I_n $ の極限はすぐに $ 0 $ と分かる。また、$ I_{n+1} $ と $ I_n $ の関係式を作るには、$ \left(\dfrac{x-3}{x}\right)^{n+1} $ を部分積分するのが自然である。

最後の無限級数は、関係式

$$ \frac{1}{n(n+1)}\left(-\frac{1}{2}\right)^n=I_n-I_{n+1}

$$

によって望遠和になる。したがって、和そのものを直接計算するより、$ I_n $ の漸化式を利用するのが最も効率的である。

答え

**(1)**

$$ I_1=1-3\log\frac{3}{2}

$$

**(2)**

$$ 0\leqq \left|\frac{x-3}{x}\right|\leqq \frac{1}{2}

$$

また、

$$ \lim_{n\to\infty}I_n=0

$$

**(3)**

$$ \begin{aligned} I_{n+1} &= I_n-\frac{1}{n(n+1)}\left(-\frac{1}{2}\right)^n \end{aligned} $$

**(4)**

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\left(-\frac{1}{2}\right)^n &= 1-3\log\frac{3}{2} \end{aligned} $$