解説

方針・初手

積分区間の上端が $\alpha x$ であり、外側に $\dfrac{1}{x^2}$ があるので、まず被積分関数を直接積分する。その後、$x \to 0$ では $\alpha x \to 0$ となるため、三角関数の基本極限またはテイラー展開を用いて極限を求める。

解法1

まず、不定積分を求める。

$$ \begin{aligned} \int (2\sin t-t\cos t),dt &= -2\cos t-\int t\cos t,dt \end{aligned} $$

部分積分より、

$$ \int t\cos t,dt=t\sin t+\cos t

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int (2\sin t-t\cos t),dt &= -2\cos t-(t\sin t+\cos t) \\ -t\sin t-3\cos t \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ \begin{aligned} \int_0^{\alpha x}(2\sin t-t\cos t),dt &= \left[-t\sin t-3\cos t\right]_0^{\alpha x} \\ &= -\alpha x\sin(\alpha x)-3\cos(\alpha x)+3 \\ &= 3-3\cos(\alpha x)-\alpha x\sin(\alpha x) \end{aligned}

$$

よって、$x\neq 0$ に対して

$$ \begin{aligned} S(x) &= \frac{3-3\cos(\alpha x)-\alpha x\sin(\alpha x)}{x^2} \end{aligned} $$

である。

次に、$x\to 0$ の極限を求める。$\theta=\alpha x$ とおくと、$x=\dfrac{\theta}{\alpha}$ であり、$x\to 0$ のとき $\theta\to 0$ である。

$$ \begin{aligned} S(x) &= \frac{3(1-\cos(\alpha x))-\alpha x\sin(\alpha x)}{x^2} \\ &= \alpha^2\left\{3\frac{1-\cos\theta}{\theta^2}-\frac{\sin\theta}{\theta}\right\} \end{aligned}

$$

ここで、

$$ \lim_{\theta\to 0}\frac{1-\cos\theta}{\theta^2}=\frac{1}{2}, \qquad \lim_{\theta\to 0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1

$$

を用いると、

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to 0}S(x) &= \alpha^2\left(3\cdot\frac{1}{2}-1\right) \\ &= \frac{\alpha^2}{2} \end{aligned}

$$

である。

解説

この問題では、被積分関数そのものを近似するよりも、まず定積分を正確に計算する方が確実である。積分後に $x^2$ で割る形が現れるため、極限では $1-\cos \theta$ が $\theta^2$ と同程度であること、また $\sin\theta$ が $\theta$ と同程度であることを使う。

特に、積分の上端が $\alpha x$ なので、極限計算では $\theta=\alpha x$ と置き換えると式の構造が見えやすい。$\alpha\neq 0$ であるため、この置換に問題はない。

答え

**(1)**

$$ S(x)=\frac{3-3\cos(\alpha x)-\alpha x\sin(\alpha x)}{x^2}

$$

**(2)**

$$ \lim_{x\to 0}S(x)=\frac{\alpha^2}{2}

$$