解説

方針・初手

$\sin x$ は $0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ で $0 \leqq \sin x \leqq 1$ を満たす。この性質から単調性を示し、さらに部分積分で $I_{n+2}$ と $I_n$ の関係を作る。

極限は、$I_{2n+1}$ を $I_{2n}$ と $I_{2n+2}$ ではさみ、漸化式を使って求める。

解法1

まず、

$$ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x,dx

$$

である。

**(1)**

$I_1,I_2,I_3$ を求める。

$$ I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x,dx =\left[-\cos x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} =1

$$

次に、

$$ \sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}

$$

より、

$$ I_2=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 x,dx =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1-\cos 2x}{2},dx =\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} =\frac{\pi}{4}

$$

また、

$$ I_3=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^3 x,dx =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x(1-\cos^2 x),dx

$$

と変形する。$u=\cos x$ と考えると、$du=-\sin x,dx$ であるから、

$$ I_3 =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin x(1-\cos^2 x),dx =\left[-\cos x+\frac{\cos^3 x}{3}\right]_0^{\frac{\pi}{2}} =\frac{2}{3}

$$

したがって、

$$ I_1=1,\qquad I_2=\frac{\pi}{4},\qquad I_3=\frac{2}{3}

$$

である。

（2） 不等式 $I_n \geqq I_{n+1}$ を示す。

$0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ において、

$$ 0 \leqq \sin x \leqq 1

$$

である。したがって、自然数 $n$ に対して、

$$ \sin^{n+1}x \leqq \sin^n x

$$

が成り立つ。よって両辺を $0$ から $\dfrac{\pi}{2}$ まで積分して、

$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n+1}x,dx \leqq \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x,dx

$$

すなわち、

$$ I_{n+1}\leqq I_n

$$

である。よって、

$$ I_n \geqq I_{n+1}

$$

が示された。

（3） 漸化式

$$ I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}I_n

$$

を示す。

部分積分を用いるため、

$$ I_{n+2} =\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n+1}x\sin x,dx

$$

と見る。

ここで、$\sin^{n+1}x$ を微分する側、$\sin x$ を積分する側として部分積分すると、

$$ \begin{aligned} I_{n+2} &=\left[-\sin^{n+1}x\cos x\right]_0^{\frac{\pi}{2}} +(n+1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\cos^2 x,dx \end{aligned}

$$

端点の項は、$x=0$ でも $x=\dfrac{\pi}{2}$ でも $0$ になるので、

$$ I_{n+2} =(n+1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x\cos^2 x,dx

$$

である。さらに、

$$ \cos^2 x=1-\sin^2 x

$$

より、

$$ \begin{aligned} I_{n+2} &=(n+1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x(1-\sin^2 x),dx\\ &=(n+1)\left(\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^n x,dx-\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n+2}x,dx\right)\\ &=(n+1)(I_n-I_{n+2}) \end{aligned}

$$

したがって、

$$ I_{n+2}=(n+1)I_n-(n+1)I_{n+2}

$$

より、

$$ (n+2)I_{n+2}=(n+1)I_n

$$

となる。よって、

$$ I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}I_n

$$

が示された。

（4） 極限

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}

$$

を求める。

（2） より、数列 $I_n$ は単調減少であるから、

$$ I_{2n}\geqq I_{2n+1}\geqq I_{2n+2}

$$

が成り立つ。ここで （3） の漸化式において $n$ を $2n$ とすると、

$$ I_{2n+2}=\frac{2n+1}{2n+2}I_{2n}

$$

である。

したがって、

$$ I_{2n}\geqq I_{2n+1}\geqq \frac{2n+1}{2n+2}I_{2n}

$$

となる。$I_{2n}>0$ であるから、$I_{2n}$ で割ると、

$$ 1\geqq \frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}\geqq \frac{2n+1}{2n+2}

$$

である。ここで、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+2}=1

$$

より、はさみうちの原理から、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}=1

$$

である。

解説

この問題の中心は、区間 $0 \leqq x \leqq \dfrac{\pi}{2}$ で $0 \leqq \sin x \leqq 1$ が成り立つことを使う点である。

この範囲では指数が大きくなるほど $\sin^n x$ は小さくなるので、$I_n \geqq I_{n+1}$ が自然に出る。また、積分の漸化式は部分積分で作るのが標準的であり、$I_{n+2}$ を $\int \sin^{n+1}x\sin x,dx$ と見るのが初手になる。

最後の極限では、$I_{2n+1}$ を直接求める必要はない。単調性によって $I_{2n}$ と $I_{2n+2}$ の間にはさみ、漸化式で $I_{2n+2}$ を $I_{2n}$ に直せばよい。

答え

**(1)**

$$ I_1=1,\qquad I_2=\frac{\pi}{4},\qquad I_3=\frac{2}{3}

$$

**(2)**

$$ I_n\geqq I_{n+1}

$$

**(3)**

$$ I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}I_n

$$

**(4)**

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{I_{2n+1}}{I_{2n}}=1

$$