解説

方針・初手

$(1)$ は $I_0(a)$ を直接積分して極限を取る。

$(2)$ は $I_n(a)$ に部分積分を行い、現れる $(1+x)^{3/2}$ を $(1+x)\sqrt{1+x}$ と見て、$I_n(a)$ と $I_{n-1}(a)$ に戻す。

$(3)$ は $(2)$ の漸化式を $a^{n+\frac{3}{2}}$ で割り、$(1)$ を初期値として帰納的に極限を求める。

解法1

**(1)**

まず

$$ I_0(a)=\int_0^a \sqrt{1+x},dx

$$

を直接計算する。

$$ \begin{aligned} I_0(a) &= \left[\frac{2}{3}(1+x)^{\frac{3}{2}}\right]_0^a \\ \frac{2}{3}\left\{(1+a)^{\frac{3}{2}}-1\right\} \end{aligned} $$

である。したがって

$$ \begin{aligned} a^{-\frac{3}{2}}I_0(a) &= \frac{2}{3}\left\{\left(1+\frac{1}{a}\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{1}{a^{\frac{3}{2}}}\right\} \end{aligned} $$

となる。$a\to\infty$ とすると、

$$ \begin{aligned} \lim_{a\to\infty}a^{-\frac{3}{2}}I_0(a) &= \frac{2}{3} \end{aligned} $$

である。

**(2)**

$n=1,2,\cdots$ とする。

$$ I_n(a)=\int_0^a x^n\sqrt{1+x},dx

$$

において、部分積分を用いる。$u=x^n$、$dv=\sqrt{1+x},dx$ とおくと、

$$ du=nx^{n-1},dx,\qquad v=\frac{2}{3}(1+x)^{\frac{3}{2}}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} I_n(a) &= \left[\frac{2}{3}x^n(1+x)^{\frac{3}{2}}\right]_0^a \\ \frac{2n}{3}\int_0^a x^{n-1}(1+x)^{\frac{3}{2}},dx \end{aligned} $$

となる。$n\geq 1$ なので、端点 $x=0$ で $x^n=0$ である。よって

$$ \begin{aligned} I_n(a) &= \frac{2}{3}a^n(1+a)^{\frac{3}{2}} \\ \frac{2n}{3}\int_0^a x^{n-1}(1+x)^{\frac{3}{2}},dx \end{aligned} $$

である。

ここで

$$ (1+x)^{\frac{3}{2}}=(1+x)\sqrt{1+x}

$$

より、

$$ \begin{aligned} \int_0^a x^{n-1}(1+x)^{\frac{3}{2}},dx &= \int_0^a x^{n-1}(1+x)\sqrt{1+x},dx\\ &= \int_0^a x^{n-1}\sqrt{1+x},dx + \int_0^a x^n\sqrt{1+x},dx\\ &= I_{n-1}(a)+I_n(a) \end{aligned}

$$

である。したがって

$$ \begin{aligned} I_n(a) &= \frac{2}{3}a^n(1+a)^{\frac{3}{2}} \\ \frac{2n}{3}{I_{n-1}(a)+I_n(a)} \end{aligned} $$

となる。$I_n(a)$ の項を左辺に集めると、

$$ \begin{aligned} \left(1+\frac{2n}{3}\right)I_n(a) &= \frac{2}{3}a^n(1+a)^{\frac{3}{2}} \\ \frac{2n}{3}I_{n-1}(a) \end{aligned} $$

である。両辺に $\dfrac{3}{3+2n}$ をかけて、

$$ \begin{aligned} I_n(a) &= \frac{2}{3+2n}a^n(1+a)^{\frac{3}{2}} \\ \frac{2n}{3+2n}I_{n-1}(a) \end{aligned} $$

を得る。

**(3)**

自然数 $n$ に対して

$$ L_n=\lim_{a\to\infty}a^{-\left(n+\frac{3}{2}\right)}I_n(a)

$$

とおく。

$(1)$ より

$$ L_0=\frac{2}{3}

$$

である。

$(2)$ の漸化式

$$ \begin{aligned} I_n(a) &= \frac{2}{3+2n}a^n(1+a)^{\frac{3}{2}} \\ \frac{2n}{3+2n}I_{n-1}(a) \end{aligned} $$

の両辺を $a^{n+\frac{3}{2}}$ で割ると、

$$ \begin{aligned} a^{-\left(n+\frac{3}{2}\right)}I_n(a) &= \frac{2}{3+2n}\left(1+\frac{1}{a}\right)^{\frac{3}{2}} \\ \frac{2n}{3+2n}\cdot \frac{I_{n-1}(a)}{a^{n+\frac{3}{2}}} \end{aligned} $$

となる。右辺第2項について、

$$ \begin{aligned} \frac{I_{n-1}(a)}{a^{n+\frac{3}{2}}} &= \frac{1}{a}\cdot \frac{I_{n-1}(a)}{a^{n+\frac{1}{2}}} \end{aligned} $$

である。

帰納法により、$a^{-\left(n-\frac{1}{2}\right)}I_{n-1}(a)$、すなわち

$$ \frac{I_{n-1}(a)}{a^{n+\frac{1}{2}}}

$$

は有限な極限をもつ。したがって、それに $\dfrac{1}{a}$ をかけたものは $0$ に収束する。

よって

$$ \begin{aligned} L_n &= \frac{2}{3+2n}\lim_{a\to\infty}\left(1+\frac{1}{a}\right)^{\frac{3}{2}}\\ &= \frac{2}{3+2n} \end{aligned}

$$

である。

したがって、すべての自然数 $n$ に対して

$$ \begin{aligned} \lim_{a\to\infty}a^{-\left(n+\frac{3}{2}\right)}I_n(a) &= \frac{2}{2n+3} \end{aligned} $$

である。

解法2

$(3)$ は変数変換で直接求めることもできる。

$x=at$ とおくと、$dx=a,dt$ であり、$x=0$ のとき $t=0$、$x=a$ のとき $t=1$ である。したがって

$$ \begin{aligned} I_n(a) &= \int_0^a x^n\sqrt{1+x},dx\\ &= a^{n+1}\int_0^1 t^n\sqrt{1+at},dt \end{aligned}

$$

となる。両辺を $a^{n+\frac{3}{2}}$ で割ると、

$$ \begin{aligned} a^{-\left(n+\frac{3}{2}\right)}I_n(a) &= \int_0^1 t^n\sqrt{t+\frac{1}{a}},dt \end{aligned} $$

である。

ここで $a\to\infty$ とすると、積分の中身は

$$ \begin{aligned} t^n\sqrt{t+\frac{1}{a}} &\to t^n\sqrt{t}\\ &= t^{n+\frac{1}{2}} \end{aligned} $$

となる。

また、

$$ 0\leq \sqrt{t+\frac{1}{a}}-\sqrt{t}\leq \frac{1}{\sqrt{a}}

$$

であるから、

$$ 0\leq \int_0^1 t^n\left(\sqrt{t+\frac{1}{a}}-\sqrt{t}\right),dt \leq \frac{1}{\sqrt{a}}\int_0^1 t^n,dt

$$

である。右辺は $a\to\infty$ で $0$ に収束するので、

$$ \begin{aligned} \lim_{a\to\infty}a^{-\left(n+\frac{3}{2}\right)}I_n(a) &= \int_0^1 t^{n+\frac{1}{2}},dt \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} \int_0^1 t^{n+\frac{1}{2}},dt &= \left[\frac{t^{n+\frac{3}{2}}}{n+\frac{3}{2}}\right]_0^1 \\ \frac{1}{n+\frac{3}{2}} \\ \frac{2}{2n+3} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の中心は、積分の主な増大度を見抜くことである。

$I_n(a)$ は $x$ が大きい部分で

$$ x^n\sqrt{1+x}\sim x^{n+\frac{1}{2}}

$$

のようにふるまうため、積分全体はおよそ

$$ \int_0^a x^{n+\frac{1}{2}},dx

$$

と同じ増大度をもつ。したがって $I_n(a)$ は $a^{n+\frac{3}{2}}$ 程度で増大すると予想できる。

$(2)$ の漸化式は、部分積分によって高い次数の積分 $I_n(a)$ を一つ低い次数の $I_{n-1}(a)$ に結びつける標準的な処理である。ただし、途中で現れる $(1+x)^{3/2}$ をそのままにせず、

$$ (1+x)^{\frac{3}{2}}=(1+x)\sqrt{1+x}

$$

と変形して $I_n(a)$ と $I_{n-1}(a)$ に戻す点が重要である。

答え

**(1)**

$$ \lim_{a\to\infty}a^{-\frac{3}{2}}I_0(a)=\frac{2}{3}

$$

**(2)**

$$ \begin{aligned} I_n(a) &= \frac{2}{3+2n}a^n(1+a)^{\frac{3}{2}} \\ \frac{2n}{3+2n}I_{n-1}(a) \qquad (n=1,2,\cdots) \end{aligned} $$

**(3)**

$$ \begin{aligned} \lim_{a\to\infty}a^{-\left(n+\frac{3}{2}\right)}I_n(a) &= \frac{2}{2n+3} \qquad (n=1,2,\cdots) \end{aligned} $$