解説

方針・初手

$\log x$ は自然対数として扱う。まず積の微分で $f'(x)$ を求め、符号変化から極値を調べる。接線は $x=p$ における接線公式を使い、原点を通る条件から $p$ を決める。面積は、接線と曲線の位置関係を確認したうえで定積分により求める。

解法1

$f(x)=x^{-2}\log x$ より、積の微分を用いると

$$ \begin{aligned} f'(x) &=(-2x^{-3})\log x+x^{-2}\cdot \frac{1}{x} \\ &=\frac{1-2\log x}{x^3} \end{aligned}

$$

である。

したがって

$$ f'(x)=0

$$

となるのは

$$ 1-2\log x=0

$$

より

$$ \log x=\frac12

$$

すなわち

$$ x=\sqrt{e}

$$

のときである。

$x>0$ では $x^3>0$ であるから、$f'(x)$ の符号は $1-2\log x$ の符号で決まる。よって

$$ 0<x<\sqrt{e}

$$

では $f'(x)>0$、

$$ x>\sqrt{e}

$$

では $f'(x)<0$ である。

したがって $x=\sqrt{e}$ で極大値をとる。その値は

$$ f(\sqrt{e}) =\frac{\log \sqrt{e}}{(\sqrt{e})^2} =\frac{1/2}{e} =\frac{1}{2e}

$$

である。

一方、$x\to 0+0$ のとき $f(x)=\dfrac{\log x}{x^2}\to -\infty$ であるから、極小値は存在しない。

次に、曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(p,f(p))$ における接線を求める。ただし $p>0$ である。

接線の方程式は

$$ y=f'(p)(x-p)+f(p)

$$

であるから、

$$ f'(p)=\frac{1-2\log p}{p^3}, \qquad f(p)=\frac{\log p}{p^2}

$$

を代入して

$$ \begin{aligned} y &=\frac{1-2\log p}{p^3}(x-p)+\frac{\log p}{p^2} \\ &=\frac{1-2\log p}{p^3}x+\frac{3\log p-1}{p^2} \end{aligned}

$$

となる。

この接線が原点を通るためには、$x=0,\ y=0$ を満たせばよい。したがって

$$ 0=\frac{3\log p-1}{p^2}

$$

より

$$ 3\log p-1=0

$$

である。よって

$$ \log p=\frac13

$$

となり、

$$ p=e^{1/3}

$$

である。

このとき接線の傾きは

$$ \begin{aligned} \frac{1-2\log p}{p^3} &= \frac{1-\frac23}{e} \\ \frac{1}{3e} \end{aligned} $$

であるから、原点を通る接線 $l$ の方程式は

$$ y=\frac{x}{3e}

$$

である。

次に、不定積分を求める。$m\ne -1$ とし、部分積分を用いる。

$$ \int x^m\log x,dx

$$

において、

$$ u=\log x,\qquad dv=x^m,dx

$$

とおくと、

$$ du=\frac{1}{x},dx,\qquad v=\frac{x^{m+1}}{m+1}

$$

である。したがって

$$ \begin{aligned} \int x^m\log x,dx &=\frac{x^{m+1}\log x}{m+1} -\int \frac{x^{m+1}}{m+1}\cdot \frac{1}{x},dx \\ &=\frac{x^{m+1}\log x}{m+1} -\frac{1}{m+1}\int x^m,dx \\ &=\frac{x^{m+1}\log x}{m+1} -\frac{x^{m+1}}{(m+1)^2}+C \end{aligned}

$$

である。

次に、曲線 $y=f(x)$、直線 $l$、および $x$ 軸で囲まれる部分の面積を求める。

曲線 $y=f(x)$ は

$$ f(x)=0

$$

より

$$ \log x=0

$$

すなわち

$$ x=1

$$

で $x$ 軸と交わる。

また、直線 $l$ と曲線 $y=f(x)$ は $x=e^{1/3}$ で接する。実際、交点は

$$ \frac{\log x}{x^2}=\frac{x}{3e}

$$

を満たす点である。両辺に $3ex^2$ をかけると

$$ 3e\log x=x^3

$$

である。

ここで $u=3\log x$ とおくと、$x^3=e^u$ であるから

$$ eu=e^u

$$

すなわち

$$ e^{u-1}=u

$$

となる。この方程式は $u=1$ で成り立ち、関数 $e^{u-1}-u$ は $u=1$ で最小値 $0$ をとるので、解は $u=1$ のみである。したがって

$$ 3\log x=1

$$

より

$$ x=e^{1/3}

$$

でのみ交わる。

したがって、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_0^1 \frac{x}{3e},dx +\int_1^{e^{1/3}}\left(\frac{x}{3e}-\frac{\log x}{x^2}\right),dx

$$

である。

まず

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \frac{x}{3e},dx &= \left[\frac{x^2}{6e}\right]_0^1 \\ \frac{1}{6e} \end{aligned} $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \int \frac{\log x}{x^2},dx &= \int x^{-2}\log x,dx \end{aligned} $$

であり、先ほどの公式に $m=-2$ を代入して

$$ \begin{aligned} \int x^{-2}\log x,dx &= -\frac{\log x+1}{x}+C \end{aligned} $$

である。

よって

$$ \begin{aligned} S &=\frac{1}{6e} +\left[\frac{x^2}{6e}+\frac{\log x+1}{x}\right]_1^{e^{1/3}} \\ &=\frac{1}{6e} +\left(\frac{e^{2/3}}{6e} +\frac{\frac13+1}{e^{1/3}}\right) -\left(\frac{1}{6e}+1\right) \\ &=\frac{e^{2/3}}{6e}+\frac{4}{3e^{1/3}}-1 \\ &=\frac{1}{6e^{1/3}}+\frac{4}{3e^{1/3}}-1 \\ &=\frac{3}{2e^{1/3}}-1 \end{aligned}

$$

である。

解説

この問題では、$x^{-2}\log x$ の微分で符号を読み取ることが基本である。接線の問題では、接点を $p$ とおいて接線を一般形で書き、原点を通る条件を定数項が $0$ であることに変換するのが最短である。

面積では、曲線と接線が接する点、曲線と $x$ 軸の交点、直線と $x$ 軸の交点を正確に把握する必要がある。特に、囲まれる部分は $0\le x\le 1$ では直線と $x$ 軸の間、$1\le x\le e^{1/3}$ では直線と曲線の間である。

答え

**(1)**

$$ f'(x)=\frac{1-2\log x}{x^3}

$$

**(2)**

$$ x=\sqrt{e}

$$

で極大値

$$ \frac{1}{2e}

$$

をとる。極小値は存在しない。

**(3)**

曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(p,f(p))$ における接線の方程式は

$$ y=\frac{1-2\log p}{p^3}x+\frac{3\log p-1}{p^2}

$$

である。

原点を通る接線 $l$ は、$p=e^{1/3}$ のときであり、

$$ l:\ y=\frac{x}{3e}

$$

である。

**(4)**

$$ \begin{aligned} \int x^m\log x,dx &= \frac{x^{m+1}\log x}{m+1} -\frac{x^{m+1}}{(m+1)^2}+C \qquad (m\ne -1) \end{aligned} $$

また、求める面積は

$$ S=\frac{3}{2e^{1/3}}-1

$$