解説

方針・初手

曲線 $y=\log x$ の接線は微分係数から求める。

面積は、上下関係を確認したうえで定積分に直す。特に $y=\log x$ は上に凸ではなく下に凸でもなく、正確には

$$ (\log x)''=-\frac{1}{x^2}<0

$$

より上に凸である。したがって、弦 $AP$ は曲線の下側にくる。一方、接線は上に凸な曲線の上側にくる。

解法1

まず、曲線 $y=\log x$ の導関数は

$$ y'=\frac{1}{x}

$$

である。

点 $B(e,1)$ における接線の傾きは

$$ \frac{1}{e}

$$

であるから、接線 $\ell$ は

$$ y-1=\frac{1}{e}(x-e)

$$

すなわち

$$ y=\frac{x}{e}

$$

である。

よって、(1) の答えは

$$ \ell:\ y=\frac{x}{e}

$$

である。

次に、$1\leqq x\leqq a$ において、接線 $\ell$ と曲線 $y=\log x$ の上下関係を確認する。

$$ \frac{x}{e}-\log x

$$

を考えると、その導関数は

$$ \frac{1}{e}-\frac{1}{x}

$$

である。これは $x<e$ で負、$x>e$ で正であり、$x=e$ で最小となる。

また

$$ \frac{e}{e}-\log e=1-1=0

$$

だから、すべての $x>0$ に対して

$$ \frac{x}{e}-\log x\geqq 0

$$

である。したがって、接線 $\ell$ は曲線 $y=\log x$ の上側にある。

よって、(2) の面積 $S_1(a)$ は

$$ S_1(a)=\int_1^a\left(\frac{x}{e}-\log x\right),dx

$$

である。

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} S_1(a) &=\left[\frac{x^2}{2e}-(x\log x-x)\right]_1^a\\ &=\left[\frac{x^2}{2e}-x\log x+x\right]_1^a\\ &=\left(\frac{a^2}{2e}-a\log a+a\right)-\left(\frac{1}{2e}+1\right)\\ &=\frac{a^2}{2e}-a\log a+a-1-\frac{1}{2e} \end{aligned}

$$

である。

したがって、

$$ S_1(a)=\frac{a^2}{2e}-a\log a+a-1-\frac{1}{2e}

$$

である。

(3) では、これを $a^2$ で割る。

$$ \begin{aligned} \frac{S_1(a)}{a^2} &= \frac{1}{2e} -\frac{\log a}{a} +\frac{1}{a} -\frac{1}{a^2} -\frac{1}{2ea^2} \end{aligned} $$

ここで

$$ \lim_{a\to\infty}\frac{\log a}{a}=0

$$

を用いると、

$$ \begin{aligned} \lim_{a\to\infty}\frac{S_1(a)}{a^2} &= \frac{1}{2e} \end{aligned} $$

である。

次に、(4) を考える。直線 $AP$ は、点 $A(1,0)$ と点 $P(a,\log a)$ を通るので、その傾きは

$$ \frac{\log a}{a-1}

$$

である。したがって、直線 $AP$ の方程式は

$$ y=\frac{\log a}{a-1}(x-1)

$$

である。

$y=\log x$ は上に凸であるから、弦 $AP$ は曲線 $y=\log x$ の下側にある。よって、曲線 $y=\log x$ と線分 $AP$ で囲まれる部分の面積 $S_2(a)$ は

$$ S_2(a)=\int_1^a\left\{\log x-\frac{\log a}{a-1}(x-1)\right\},dx

$$

である。

これを計算する。

$$ \begin{aligned} \int_1^a \log x,dx &= \left[x\log x-x\right]_1^a \\ a\log a-a+1 \end{aligned} $$

また、

$$ \begin{aligned} \int_1^a (x-1),dx &= \left[\frac{(x-1)^2}{2}\right]_1^a \\ \frac{(a-1)^2}{2} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} S_2(a) &=a\log a-a+1-\frac{\log a}{a-1}\cdot \frac{(a-1)^2}{2}\\ &=a\log a-a+1-\frac{a-1}{2}\log a\\ &=\frac{a+1}{2}\log a-a+1 \end{aligned}

$$

である。

したがって、

$$ S_2(a)=\frac{a+1}{2}\log a-a+1

$$

である。

最後に、(5) を考える。三角形 $APQ$ は、底辺 $AQ=a-1$、高さ $PQ=\log a$ の直角三角形である。

よって、その面積 $S_3(a)$ は

$$ S_3(a)=\frac{1}{2}(a-1)\log a

$$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \frac{S_2(a)}{S_3(a)} &= \frac{\frac{a+1}{2}\log a-a+1}{\frac{1}{2}(a-1)\log a} \end{aligned} $$

である。分子分母に $2$ をかけると、

$$ \begin{aligned} \frac{S_2(a)}{S_3(a)} &= \frac{(a+1)\log a-2a+2}{(a-1)\log a} \end{aligned} $$

となる。ここで $-2a+2=-2(a-1)$ より、

$$ \begin{aligned} \frac{S_2(a)}{S_3(a)} &= \frac{a+1}{a-1}-\frac{2}{\log a} \end{aligned} $$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} \lim_{a\to\infty}\frac{S_2(a)}{S_3(a)} &= 1-0 \\ 1 \end{aligned} $$

である。

解説

この問題では、接線・弦・曲線の上下関係を正しく判断することが重要である。

$y=\log x$ は

$$ (\log x)''=-\frac{1}{x^2}<0

$$

より上に凸である。そのため、接線は曲線の上側、弦は曲線の下側に位置する。この性質を使うと、面積を定積分で迷わず表せる。

また、(3) では $S_1(a)$ の最大次数が $a^2$ であること、(5) では $S_2(a)$ と $S_3(a)$ の主要項がどちらも $\frac{a\log a}{2}$ であることを見るのが本質である。

答え

**(1)**

$$ \ell:\ y=\frac{x}{e}

$$

**(2)**

$$ S_1(a)=\frac{a^2}{2e}-a\log a+a-1-\frac{1}{2e}

$$

**(3)**

$$ \begin{aligned} \lim_{a\to\infty}\frac{S_1(a)}{a^2} &= \frac{1}{2e} \end{aligned} $$

**(4)**

$$ S_2(a)=\frac{a+1}{2}\log a-a+1

$$

**(5)**

$$ S_3(a)=\frac{1}{2}(a-1)\log a

$$

また、

$$ \begin{aligned} \lim_{a\to\infty}\frac{S_2(a)}{S_3(a)} &= 1 \end{aligned} $$