解説

方針・初手

(1) は積分の区間端点が $c$ 倍されているので、原始関数

$$ F(t)=\int_0^t f(x),dx

$$

をおいて、条件を $F$ の関係式に直す。

(2) は $g(2x)=\dfrac14g(x)$ から、区間 $[2^k,2^{k+1}]$ 上の積分を区間 $[1,2]$ 上の積分に戻す。これにより $I_n$ は等比数列の和になる。

解法1

(1)

$$ F(t)=\int_0^t f(x),dx

$$

とおく。$f(x)$ は連続であるから、$F'(t)=f(t)$ である。

与えられた条件は

$$ \int_{ac}^{bc} f(x),dx=c^2\int_a^b f(x),dx

$$

である。左辺を $F$ で表すと、

$$ F(bc)-F(ac)=c^2{F(b)-F(a)}

$$

である。

ここで $a=0$ とすると、$F(0)=0$ より

$$ F(bc)=c^2F(b)

$$

を得る。特に $b=1$ とすれば

$$ F(c)=c^2F(1)

$$

である。

また

$$ F(1)=\int_0^1 f(x),dx=1

$$

だから、

$$ F(c)=c^2

$$

となる。よって任意の実数 $x$ について

$$ F(x)=x^2

$$

である。

したがって両辺を $x$ で微分して

$$ f(x)=F'(x)=2x

$$

を得る。よって

$$ f(2)=4,\qquad f(-3)=-6

$$

である。

(2)

条件

$$ g(2x)=\frac14g(x)

$$

を繰り返し用いると、$k$ を $0$ 以上の整数として

$$ g(2^kx)=\left(\frac14\right)^k g(x)

$$

である。

区間 $[2^k,2^{k+1}]$ 上の積分を考える。$x=2^kt$ とおくと、$dx=2^k,dt$ であり、$x=2^k$ のとき $t=1$、$x=2^{k+1}$ のとき $t=2$ である。したがって

$$ \begin{aligned} \int_{2^k}^{2^{k+1}}g(x),dx &=\int_1^2 g(2^kt),2^k,dt\\ &=\int_1^2 \left(\frac14\right)^k g(t),2^k,dt\\ &=\frac{2^k}{4^k}\int_1^2 g(t),dt\\ &=\left(\frac12\right)^k. \end{aligned}

$$

ここで

$$ \int_1^2 g(t),dt=1

$$

を用いた。

よって

$$ I_n=\int_1^{2^n}g(x),dx

$$

は、区間を

$$ [1,2],\ [2,4],\ [4,8],\ \ldots,\ [2^{n-1},2^n]

$$

に分けることで

$$ \begin{aligned} I_n &=\sum_{k=0}^{n-1}\int_{2^k}^{2^{k+1}}g(x),dx\\ &=\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac12\right)^k\\ &=\frac{1-\left(\frac12\right)^n}{1-\frac12}\\ &=2\left(1-\frac1{2^n}\right) \end{aligned}

$$

となる。

したがって

$$ I_4=2\left(1-\frac1{16}\right)=2\cdot\frac{15}{16}=\frac{15}{8}

$$

である。

また、

$$ \lim_{n\to\infty}I_n =\lim_{n\to\infty}2\left(1-\frac1{2^n}\right) =2

$$

である。

解説

(1) は、積分区間の端点が $c$ 倍される条件を、原始関数 $F$ の関係式として読むのが核心である。$a=0$、さらに $b=1$ とすることで、一気に $F(x)=x^2$ が決まる。

(2) は、関数そのものは一意に決まらないが、各 dyadic 区間 $[2^k,2^{k+1}]$ 上の積分は条件だけで決まる。関数の形を求めようとせず、積分区間を $2$ 倍ごとに分割するのが自然である。

答え

**(1)**

$$ [ア]=4,\qquad [イ]=-6

$$

**(2)**

$$ I_4=\frac{15}{8}

$$

より

$$ [ウエ]=15,\qquad [オ]=8

$$

また

$$ \lim_{n\to\infty}I_n=2

$$

より

$$ [キ]=2

$$