解説

方針・初手

共有点 $P$ で接線が一致するので、「関数値が等しいこと」と「微分係数が等しいこと」を同時に使う。まず $P$ の $x$ 座標を $x_0$ とおき、$x_0>0$ に注意して条件式を立てる。

解法1

$C_1:y=\log x+\log t$、$C_2:y=ax^2$ である。$P$ の $x$ 座標を $x_0$ とすると、$x_0>0$ であり、$P$ が両曲線上にあることから

$$ \log x_0+\log t=ax_0^2

$$

である。

また、接線が一致するので、$P$ における微分係数も等しい。したがって

$$ \frac{1}{x_0}=2ax_0

$$

である。

よって

$$ 2ax_0^2=1

$$

すなわち

$$ ax_0^2=\frac{1}{2}

$$

である。これを共有点の条件に代入すると

$$ \log x_0+\log t=\frac{1}{2}

$$

となるから

$$ \log (tx_0)=\frac{1}{2}

$$

であり、

$$ tx_0=\sqrt{e}

$$

を得る。

したがって

$$ x_0=\frac{\sqrt{e}}{t}

$$

である。また

$$ a=\frac{1}{2x_0^2}

$$

より、

$$ a=\frac{t^2}{2e}

$$

である。

次に、$P$ における $C_2$ の法線を考える。$P$ の座標は

$$ P\left(x_0,\frac{1}{2}\right)

$$

である。$C_2$ の接線の傾きは

$$ 2ax_0=\frac{1}{x_0}

$$

であるから、法線 $l$ の傾きは

$$ -x_0

$$

である。したがって、法線 $l$ の方程式は

$$ y-\frac{1}{2}=-x_0(x-x_0)

$$

である。

$x$ 軸との交点を $Q$ とすると、$y=0$ を代入して

$$ -\frac{1}{2}=-x_0(x-x_0)

$$

より

$$ x=x_0+\frac{1}{2x_0}

$$

である。よって

$$ Q\left(x_0+\frac{1}{2x_0},0\right)

$$

である。

また、$y$ 軸との交点を $R$ とすると、$x=0$ を代入して

$$ y-\frac{1}{2}=x_0^2

$$

より

$$ R\left(0,x_0^2+\frac{1}{2}\right)

$$

である。

したがって、三角形 $OQR$ の面積 $S(t)$ は

$$ S(t)=\frac{1}{2}\left(x_0+\frac{1}{2x_0}\right)\left(x_0^2+\frac{1}{2}\right)

$$

である。ここで $x_0=\dfrac{\sqrt{e}}{t}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} x_0+\frac{1}{2x_0} &= \frac{\sqrt{e}}{t}+\frac{t}{2\sqrt{e}} \\ \frac{t^2+2e}{2\sqrt{e}t} \end{aligned} $$

また

$$ \begin{aligned} x_0^2+\frac{1}{2} &= \frac{e}{t^2}+\frac{1}{2} \\ \frac{t^2+2e}{2t^2} \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} S(t) &= \frac{1}{2}\cdot \frac{t^2+2e}{2\sqrt{e}t} \cdot \frac{t^2+2e}{2t^2} &= \frac{(t^2+2e)^2}{8\sqrt{e}t^3} \end{aligned} $$

である。

ここで $t>0$ として

$$ S(t)=\frac{1}{8\sqrt{e}}\cdot \frac{(t^2+2e)^2}{t^3}

$$

を最小にする。正の定数倍は最小値を与える $t$ に影響しないので、

$$ f(t)=\frac{(t^2+2e)^2}{t^3}

$$

を調べる。

対数微分を用いると、

$$ \begin{aligned} \frac{f'(t)}{f(t)} &= \frac{4t}{t^2+2e}-\frac{3}{t} \\ \frac{t^2-6e}{t(t^2+2e)} \end{aligned} $$

である。$t>0$ では $t(t^2+2e)>0$ であるから、$S(t)$ は

$$ 0<t<\sqrt{6e}

$$

で減少し、

$$ t>\sqrt{6e}

$$

で増加する。したがって、$S(t)$ を最小にする $t$ は

$$ t=\sqrt{6e}

$$

である。

このとき、

$$ x_0=\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{6e}}=\frac{1}{\sqrt{6}}

$$

また

$$ a=\frac{(\sqrt{6e})^2}{2e}=3

$$

である。

したがって、曲線は

$$ C_1:y=\log(\sqrt{6e}x)

$$

$$ C_2:y=3x^2

$$

となる。

$C_1$ と $x$ 軸の交点は

$$ \log(\sqrt{6e}x)=0

$$

より

$$ x=\frac{1}{\sqrt{6e}}

$$

である。$C_2$ と $x$ 軸の交点は原点 $O$ である。

また、

$$ 3x^2-\log(\sqrt{6e}x)

$$

を考えると、その導関数は

$$ 6x-\frac{1}{x}

$$

であり、$x=\dfrac{1}{\sqrt{6}}$ で最小となる。このとき

$$ \begin{aligned} 3\left(\frac{1}{\sqrt{6}}\right)^2-\log\left(\sqrt{6e}\cdot \frac{1}{\sqrt{6}}\right) &= \frac{1}{2}-\log\sqrt{e} \\ 0 \end{aligned} $$

である。したがって、$x>0$ において $C_2$ は $C_1$ の上側にあり、両者は $P$ で接する。

求める面積は、$0\le x\le \dfrac{1}{\sqrt{6e}}$ では $C_2$ と $x$ 軸の間の面積、$\dfrac{1}{\sqrt{6e}}\le x\le \dfrac{1}{\sqrt{6}}$ では $C_2$ と $C_1$ の間の面積である。よって面積を $A$ とすると、

$$ A =

\int_0^{1/\sqrt{6e}}3x^2,dx + \int_{1/\sqrt{6e}}^{1/\sqrt{6}} \left\{3x^2-\log(\sqrt{6e}x)\right\},dx

$$

である。ここで

$$ \begin{aligned} \int \left\{3x^2-\log(\sqrt{6e}x)\right\},dx &= x^3-x\log(\sqrt{6e}x)+x \end{aligned} $$

だから、

$$ \begin{aligned} A &= \left[x^3\right]*0^{1/\sqrt{6e}} + \left[x^3-x\log(\sqrt{6e}x)+x\right]*{1/\sqrt{6e}}^{1/\sqrt{6}} \\ &= \frac{1}{6\sqrt{6}} -\frac{1}{\sqrt{6}}\cdot\frac{1}{2} +\frac{1}{\sqrt{6}} -\frac{1}{\sqrt{6e}} \\ &= \frac{2}{3\sqrt{6}}-\frac{1}{\sqrt{6e}} \end{aligned}

$$

である。

解説

この問題の中心は、共有点で接する条件を「値が等しい」「傾きが等しい」の2条件として処理することである。特に、傾きの条件から

$$ ax_0^2=\frac{1}{2}

$$

がすぐに出るため、共有点の $y$ 座標も $\dfrac{1}{2}$ と決まる。

後半では、法線の切片を直接求めれば三角形の面積が出る。最小化は $S(t)$ を明示して微分すればよい。

最後の面積では、$C_1$ が $x$ 軸と交わる点と、$C_1,C_2$ の接点の位置関係を正確に見る必要がある。$0$ から $1/\sqrt{6e}$ までは下側の境界が $x$ 軸であり、それ以降は $C_1$ が下側の境界になるため、積分区間を分けるのが重要である。

答え

**(1)**

$$ \log x_0+\log t=ax_0^2,\qquad \frac{1}{x_0}=2ax_0

$$

すなわち

$$ ax_0^2=\frac{1}{2},\qquad tx_0=\sqrt{e}

$$

である。

**(2)**

$$ x_0=\frac{\sqrt{e}}{t},\qquad a=\frac{t^2}{2e}

$$

**(3)**

$$ S(t)=\frac{(t^2+2e)^2}{8\sqrt{e}t^3}

$$

また、$S(t)$ を最小にする $t$ は

$$ t=\sqrt{6e}

$$

である。

**(4)**

$$ \frac{2}{3\sqrt{6}}-\frac{1}{\sqrt{6e}}

$$