解説

方針・初手

(1) で $x^{n+1}e^{-x}$ の最大値を求め、これを利用して (2) の $x^n e^{-x}$ を評価する。さらに (3) は部分積分により漸化式を作り、(2) の極限を使って帰納的に示す。

解法1

まず、$x \geqq 0$ において

$$ f(x)=x^{n+1}e^{-x}

$$

とおく。微分すると、

$$ \begin{aligned} f'(x) &=(n+1)x^n e^{-x}-x^{n+1}e^{-x}\\ &=x^n e^{-x}(n+1-x) \end{aligned}

$$

である。

$x^n e^{-x} \geqq 0$ より、$f'(x)$ の符号は $n+1-x$ の符号で決まる。したがって、$f(x)$ は $0 \leqq x \leqq n+1$ で増加し、$x \geqq n+1$ で減少する。

よって、$f(x)$ は $x=n+1$ で最大値をとり、その値は

$$ f(n+1)=(n+1)^{n+1}e^{-(n+1)}

$$

である。

次に、(2) を示す。$x>0$ のとき、

$$ x^n e^{-x}=\frac{x^{n+1}e^{-x}}{x}

$$

である。(1) より、すべての $x \geqq 0$ に対して

$$ x^{n+1}e^{-x}\leqq (n+1)^{n+1}e^{-(n+1)}

$$

が成り立つ。したがって、

$$ 0\leqq x^n e^{-x} \leqq \frac{(n+1)^{n+1}e^{-(n+1)}}{x}

$$

となる。

ここで

$$ \lim_{x\to\infty}\frac{(n+1)^{n+1}e^{-(n+1)}}{x}=0

$$

であるから、はさみうちの原理より

$$ \lim_{x\to\infty}x^n e^{-x}=0

$$

である。

最後に、(3) を示す。自然数 $n$ に対して

$$ I_n(x)=\int_0^x t^n e^{-t},dt

$$

とおく。

$n\geqq 1$ のとき、部分積分により

$$ \begin{aligned} I_n(x) &=\int_0^x t^n e^{-t},dt\\ &=\left[-t^n e^{-t}\right]*0^x+n\int_0^x t^{n-1}e^{-t},dt\\ &=-x^n e^{-x}+nI*{n-1}(x) \end{aligned}

$$

となる。ここで、$t=0$ における項は $0^n e^0=0$ である。

まず $n=0$ の場合を確認すると、

$$ I_0(x)=\int_0^x e^{-t},dt=1-e^{-x}

$$

より、

$$ \lim_{x\to\infty}I_0(x)=1=0!

$$

である。

次に、ある $n-1$ について

$$ \lim_{x\to\infty}I_{n-1}(x)=(n-1)!

$$

が成り立つと仮定する。このとき、上の漸化式と (2) より

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to\infty}I_n(x) &=\lim_{x\to\infty}\left(-x^n e^{-x}+nI_{n-1}(x)\right)\\ &=0+n(n-1)!\\ &=n! \end{aligned}

$$

となる。

よって、数学的帰納法により、すべての自然数 $n$ に対して

$$ \lim_{x\to\infty}\int_0^x t^n e^{-t},dt=n!

$$

が成り立つ。

解説

この問題の中心は、指数関数 $e^{-x}$ が多項式 $x^n$ よりも速く $0$ に近づくことを、微分と部分積分で厳密に示す点にある。

(1) では $x^{n+1}e^{-x}$ の最大値を求めることで、この関数が有界であることが分かる。その結果、

$$ x^n e^{-x}=\frac{x^{n+1}e^{-x}}{x}

$$

と変形すれば、(2) ははさみうちで処理できる。

(3) では、部分積分によって $I_n(x)$ を $I_{n-1}(x)$ に帰着させることが重要である。端点で現れる $x^n e^{-x}$ は (2) によって消えるため、最終的に階乗の漸化式 $n(n-1)!=n!$ が現れる。

答え

**(1)**

$$ (n+1)^{n+1}e^{-(n+1)}

$$

**(2)**

$$ \lim_{x\to\infty}x^n e^{-x}=0

$$

**(3)**

$$ \lim_{x\to\infty}\int_0^x t^n e^{-t},dt=n!

$$