解説

方針・初手

$\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ であり、$\cos x$ の微分が $-\sin x$ であることを利用する。

(2)では、(1)の結果を使って $I(\theta)$ を具体的に表し、$I(\theta)-I(2\theta)$ と $\theta e^{I(\theta)}$ を直接計算する。

解法1

まず、

$$ \begin{aligned} \int \tan x,dx &= \int \frac{\sin x}{\cos x},dx \end{aligned} $$

である。ここで $t=\cos x$ とおくと、$dt=-\sin x,dx$ であるから、

$$ \begin{aligned} \int \frac{\sin x}{\cos x},dx &= -\int \frac{1}{t},dt \\ -\log |t| \\ -\log |\cos x| \end{aligned} $$

となる。したがって、積分定数を省略すれば

$$ \int \tan x,dx=-\log|\cos x|

$$

である。

次に、

$$ I(\theta)=\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}-\theta}\tan u,du

$$

を求める。$0<\theta<\dfrac{\pi}{4}$ なので、積分区間では $\cos u>0$ である。よって絶対値を外して、

$$ \int \tan u,du=-\log \cos u

$$

を用いることができる。

したがって、

$$ \begin{aligned} I(\theta) &= \left[-\log \cos u\right]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}-\theta} \\ &= -\log\cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)+\log\cos\frac{\pi}{4} \\ &= -\log(\sin\theta)+\log\frac{1}{\sqrt{2}} \\ &= \log\frac{1}{\sqrt{2}\sin\theta} \end{aligned}

$$

である。

まず $L$ を求める。$\theta\to +0$ を考えるので、十分小さい $\theta$ に対して $I(2\theta)$ も定義される。

$$ I(2\theta)=\log\frac{1}{\sqrt{2}\sin 2\theta}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} I(\theta)-I(2\theta) &= \log\frac{1}{\sqrt{2}\sin\theta} &=

\log\frac{1}{\sqrt{2}\sin 2\theta} \\ &= \log\frac{\sin 2\theta}{\sin\theta} \\ &= \log(2\cos\theta) \end{aligned}

$$

となる。よって、

$$ \begin{aligned} L = \\ \lim_{\theta\to +0}\log(2\cos\theta) \\ \log 2 \end{aligned} $$

である。

次に $M$ を求める。先ほどの $I(\theta)$ の式より、

$$ \begin{aligned} e^{I(\theta)} &= e^{\log\frac{1}{\sqrt{2}\sin\theta}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}\sin\theta} \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} \theta e^{I(\theta)} &= \frac{\theta}{\sqrt{2}\sin\theta} \end{aligned} $$

となる。ここで

$$ \lim_{\theta\to +0}\frac{\theta}{\sin\theta}=1

$$

より、

$$ \begin{aligned} M = \\ \lim_{\theta\to +0}\frac{\theta}{\sqrt{2}\sin\theta} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は、$\tan x$ の積分が $-\log|\cos x|$ になることを正しく使う点である。

(2)では、上端が $\dfrac{\pi}{2}-\theta$ なので、

$$ \cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)=\sin\theta

$$

と変形できる。ここで $I(\theta)$ は $\theta\to +0$ のとき発散するが、$I(\theta)-I(2\theta)$ では発散部分が打ち消し合う。また、$e^{I(\theta)}$ は $\dfrac{1}{\sin\theta}$ 型になるので、$\sin\theta\sim\theta$ を使えば極限が求まる。

答え

**(1)**

$$ \int \tan x,dx=-\log|\cos x|

$$

**(2)**

$$ L=\log 2,\qquad M=\frac{1}{\sqrt{2}}

$$