解説

方針・初手

$\cos^2 nx$ は区間幅 $\dfrac{\pi}{2n}$ ごとに同じ積分値をもつ。まずこの積分値を求め、単調増加性により $f(x)$ を各小区間の両端の値で挟む。これにより、$\int f(x)\cos^2 nx,dx$ は $\dfrac12\int f(x),dx$ に近づくことが分かる。

解法1

まず

$$ \alpha_k=\frac{\pi k}{2n}

$$

であるから、$u=nx$ とおくと

$$ \begin{aligned} \int_{\alpha_k}^{\alpha_{k+1}}\cos^2 nx,dx &=\frac{1}{n}\int_{n\alpha_k}^{n\alpha_{k+1}}\cos^2 u,du\\ &=\frac{1}{n}\int_{\frac{\pi k}{2}}^{\frac{\pi(k+1)}{2}}\cos^2 u,du. \end{aligned}

$$

ここで

$$ \cos^2 u=\frac{1+\cos 2u}{2}

$$

より

$$ \begin{aligned} \int_{\frac{\pi k}{2}}^{\frac{\pi(k+1)}{2}}\cos^2 u,du &=\left[\frac{u}{2}+\frac{\sin 2u}{4}\right]_{\frac{\pi k}{2}}^{\frac{\pi(k+1)}{2}}\\ &=\frac{\pi}{4}. \end{aligned}

$$

したがって

$$ \int_{\alpha_k}^{\alpha_{k+1}}\cos^2 nx,dx=\frac{\pi}{4n}

$$

である。

次に、$f(x)$ は単調増加であるから、$\alpha_k\leqq x\leqq \alpha_{k+1}$ において

$$ f(\alpha_k)\leqq f(x)\leqq f(\alpha_{k+1})

$$

が成り立つ。また $\cos^2 nx\geqq 0$ であるから、両辺に $\cos^2 nx$ をかけて積分すると

$$ f(\alpha_k)\int_{\alpha_k}^{\alpha_{k+1}}\cos^2 nx,dx \leqq S_k \leqq f(\alpha_{k+1})\int_{\alpha_k}^{\alpha_{k+1}}\cos^2 nx,dx

$$

となる。先ほどの結果を代入して

$$ \frac{\pi}{4n}f(\alpha_k)\leqq S_k\leqq \frac{\pi}{4n}f(\alpha_{k+1})

$$

を得る。

次に

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi f(x)\cos^2 nx,dx &= \sum_{k=0}^{2n-1}S_k \end{aligned} $$

である。よって、上の不等式を $k=0,1,\dots,2n-1$ について足し合わせると

$$ \frac{\pi}{4n}\sum_{k=0}^{2n-1}f(\alpha_k) \leqq \int_0^\pi f(x)\cos^2 nx,dx \leqq \frac{\pi}{4n}\sum_{k=0}^{2n-1}f(\alpha_{k+1})

$$

となる。

ここで区間幅は

$$ \Delta x=\frac{\pi}{2n}

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{\pi}{4n}\sum_{k=0}^{2n-1}f(\alpha_k) &= \frac12\sum_{k=0}^{2n-1}f(\alpha_k)\Delta x \end{aligned} $$

である。これは $\dfrac12\int_0^\pi f(x),dx$ に収束する。同様に右辺も

$$ \frac12\sum_{k=0}^{2n-1}f(\alpha_{k+1})\Delta x \to \frac12\int_0^\pi f(x),dx

$$

となる。したがって、はさみうちの原理より

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\int_0^\pi f(x)\cos^2 nx,dx &= \frac12\int_0^\pi f(x),dx \\ \frac{I}{2} \end{aligned} $$

である。

最後に

$$ J_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos^2 nx-\cos^4 nx)\log\left(1+\frac{4}{\pi}x\right),dx

$$

とおく。

関数

$$ g(x)=\log\left(1+\frac{4}{\pi}x\right)

$$

は $0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{4}$ で連続かつ単調増加である。

先ほどと同じ議論は、積分区間が $[0,\pi]$ でなくても使える。すなわち、任意の正数 $a$ に対して

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\int_0^a g(x)\cos^2 nx,dx &= \frac12\int_0^a g(x),dx \end{aligned} $$

が成り立つ。端に長さが $\dfrac{\pi}{2n}$ 未満の余り区間が出ても、その寄与は有界関数の積分なので $0$ に近づくためである。

したがって

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\int_0^{\frac{\pi}{4}}g(x)\cos^2 nx,dx &= \frac12\int_0^{\frac{\pi}{4}}g(x),dx \end{aligned} $$

である。

また

$$ \cos^4 nx=\frac{3+4\cos 2nx+\cos 4nx}{8}

$$

である。上の結果から

$$ \int_0^{\frac{\pi}{4}}g(x)\cos 2nx,dx\to 0, \qquad \int_0^{\frac{\pi}{4}}g(x)\cos 4nx,dx\to 0

$$

が従うので、

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\int_0^{\frac{\pi}{4}}g(x)\cos^4 nx,dx &= \frac38\int_0^{\frac{\pi}{4}}g(x),dx \end{aligned} $$

である。

ゆえに

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}J_n &= \left(\frac12-\frac38\right)\int_0^{\frac{\pi}{4}}\log\left(1+\frac{4}{\pi}x\right),dx\\ &= \frac18\int_0^{\frac{\pi}{4}}\log\left(1+\frac{4}{\pi}x\right),dx. \end{aligned}

$$

ここで

$$ t=1+\frac{4}{\pi}x

$$

とおくと、

$$ dx=\frac{\pi}{4},dt

$$

であり、$x=0$ のとき $t=1$、$x=\dfrac{\pi}{4}$ のとき $t=2$ である。したがって

$$ \begin{aligned} \int_0^{\frac{\pi}{4}}\log\left(1+\frac{4}{\pi}x\right),dx &= \frac{\pi}{4}\int_1^2\log t,dt\\ &= \frac{\pi}{4}\left[t\log t-t\right]_1^2\\ &= \frac{\pi}{4}(2\log 2-1). \end{aligned}

$$

よって

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}J_n &= \frac18\cdot \frac{\pi}{4}(2\log 2-1) \\ \frac{\pi}{32}(2\log 2-1) \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は、$\cos^2 nx$ の高速振動の平均値が $\dfrac12$ であることを、単なる直感ではなくリーマン和のはさみうちで示す点にある。

(1) で各小区間における $\cos^2 nx$ の積分値が常に $\dfrac{\pi}{4n}$ になることを確認し、(2) で $f$ の単調増加性を使って $S_k$ を両端の値で挟む。これにより、(3) は通常のリーマン和の収束に帰着する。

(4) では $\cos^2 nx$ の平均値が $\dfrac12$、$\cos^4 nx$ の平均値が $\dfrac38$ であることを使う。差の平均値は

$$ \frac12-\frac38=\frac18

$$

であり、結局は

$$ \frac18\int_0^{\frac{\pi}{4}}\log\left(1+\frac{4}{\pi}x\right),dx

$$

を計算すればよい。

答え

**(1)**

$$ \int_{\alpha_k}^{\alpha_{k+1}}\cos^2 nx,dx=\frac{\pi}{4n}

$$

**(2)**

$$ \frac{\pi}{4n}f(\alpha_k)\leqq S_k\leqq \frac{\pi}{4n}f(\alpha_{k+1})

$$

**(3)**

$$ \lim_{n\to\infty}\int_0^\pi f(x)\cos^2 nx,dx=\frac{I}{2}

$$

**(4)**

$$ \begin{aligned} \lim_{n\to\infty}\int_0^{\frac{\pi}{4}}(\cos^2 nx-\cos^4 nx)\log\left(1+\frac{4}{\pi}x\right),dx &= \frac{\pi}{32}(2\log 2-1) \end{aligned} $$