解説

方針・初手

まず微分して増減を調べる。接線は、点 $x=a$ における接線の一般形を作ってから、原点対称性を利用して第1象限と第3象限に接点をもつ共通接線を求める。

以下、問題文の変数を $x$ として書く。

解法1

関数は

$$ f(x)=\frac{x^2-1}{x^3}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}

$$

である。ただし $x\neq 0$ である。

微分すると

$$ f'(x)=-\frac{1}{x^2}+\frac{3}{x^4} =\frac{3-x^2}{x^4}

$$

となる。したがって、①は

$$ \frac{3-x^2}{x^4}

$$

である。

次に、曲線上の点 $(a,f(a))$ における接線を求める。接線の方程式は

$$ y=f'(a)(x-a)+f(a)

$$

であるから、

$$ y=f'(a)x+{f(a)-af'(a)}

$$

となる。ここで

$$ f(a)=\frac{a^2-1}{a^3},\qquad f'(a)=\frac{3-a^2}{a^4}

$$

より、

$$ \begin{aligned} f(a)-af'(a) &=\frac{a^2-1}{a^3}-a\cdot \frac{3-a^2}{a^4} \\ &=\frac{a^2-1}{a^3}-\frac{3-a^2}{a^3} \\ &=\frac{2a^2-4}{a^3} \\ &=\frac{2(a^2-2)}{a^3} \end{aligned}

$$

である。よって、接線の方程式は

$$ y=f'(a)x+\frac{2(a^2-2)}{a^3}

$$

となるから、②は

$$ a^2-2

$$

である。

次に極値を求める。

$$ f'(x)=\frac{3-x^2}{x^4}

$$

であり、$x^4>0$ だから、符号は $3-x^2$ で決まる。よって

$$ f'(x)=0

$$

となるのは

$$ x=\pm \sqrt{3}

$$

である。

増減を調べると、$x=-\sqrt{3}$ で極小、$x=\sqrt{3}$ で極大となる。

それぞれの値は

$$ f(-\sqrt{3})=\frac{3-1}{(-\sqrt{3})^3} =-\frac{2}{3\sqrt{3}} =-\frac{2\sqrt{3}}{9}

$$

であり、

$$ f(\sqrt{3})=\frac{3-1}{(\sqrt{3})^3} =\frac{2}{3\sqrt{3}} =\frac{2\sqrt{3}}{9}

$$

である。したがって、③は

$$ -\frac{2\sqrt{3}}{9}

$$

であり、④は

$$ \frac{2\sqrt{3}}{9}

$$

である。

また、

$$ f(-x)=-f(x)

$$

が成り立つので、グラフは原点に関して対称である。第1象限と第3象限にそれぞれ1つずつ接点をもつ共通接線は、原点対称性から原点を通る直線になる。

接線が原点を通るためには、接線の切片

$$ \frac{2(a^2-2)}{a^3}

$$

が $0$ になればよい。したがって

$$ a^2-2=0

$$

より、

$$ a=\pm \sqrt{2}

$$

である。

このとき接線の傾きは

$$ f'(\sqrt{2})=\frac{3-2}{(\sqrt{2})^4} =\frac{1}{4}

$$

であるから、接線 $\ell$ の方程式は

$$ y=\frac{x}{4}

$$

である。よって、⑤は

$$ \frac{x}{4}

$$

であり、⑥は

$$ \pm \sqrt{2}

$$

である。

次に不定積分を求める。

$$ \begin{aligned} \int f(x),dx &=\int \left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^3}\right),dx \\ &=\log |x|+\frac{1}{2x^2}+C \end{aligned}

$$

したがって、⑦は

$$ \log |x|+\frac{1}{2x^2}

$$

である。

最後に面積を求める。第1象限側の囲まれた部分は、$x=0$ から $x=1$ までは直線 $y=x/4$ と $x$ 軸、$x=1$ から $x=\sqrt{2}$ までは直線 $y=x/4$ と曲線 $y=f(x)$ で囲まれる。

よって第1象限側の面積を $S_1$ とすると、

$$ S_1=\int_0^1 \frac{x}{4},dx+\int_1^{\sqrt{2}}\left(\frac{x}{4}-f(x)\right),dx

$$

である。これを計算すると、

$$ \int_0^1 \frac{x}{4},dx=\frac{1}{8}

$$

であり、

$$ \begin{aligned} \int_1^{\sqrt{2}}\left(\frac{x}{4}-f(x)\right),dx &=\int_1^{\sqrt{2}}\left(\frac{x}{4}-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^3}\right),dx \\ &=\left[\frac{x^2}{8}-\log x-\frac{1}{2x^2}\right]_1^{\sqrt{2}} \\ &=\left(\frac14-\frac12\log2-\frac14\right)-\left(\frac18-\frac12\right) \\ &=\frac38-\frac12\log2 \end{aligned}

$$

である。したがって

$$ S_1=\frac18+\frac38-\frac12\log2 =\frac{1-\log2}{2}

$$

である。

第3象限側にもこれと原点対称な同じ面積の部分があるから、求める面積は

$$ 2S_1=1-\log2

$$

である。よって、⑧は

$$ 1-\log2

$$

である。

解説

この問題の中心は、接線の一般形を先に作ることである。接点を $x=a$ とおくと、接線の切片が

$$ \frac{2(a^2-2)}{a^3}

$$

と整理される。共通接線が原点を通ることに気づけば、$a^2-2=0$ から接点の $x$ 座標がすぐに求まる。

面積計算では、曲線が $x=0$ で定義されていない点に注意する必要がある。第1象限側の領域は、$0\leqq x\leqq 1$ と $1\leqq x\leqq \sqrt2$ で上側・下側の関係が変わるため、積分を分ける。

答え

$$ \boxed{①=\frac{3-x^2}{x^4}}

$$

$$ \boxed{②=a^2-2}

$$

$$ \boxed{③=-\frac{2\sqrt3}{9}}

$$

$$ \boxed{④=\frac{2\sqrt3}{9}}

$$

$$ \boxed{⑤=\frac{x}{4}}

$$

$$ \boxed{⑥=\pm\sqrt2}

$$

$$ \boxed{⑦=\log|x|+\frac{1}{2x^2}}

$$

$$ \boxed{⑧=1-\log2}

$$