解説

方針・初手

共通接線は、それぞれの曲線上の接点を文字で置き、接線の傾きと切片が一致する条件から求める。

面積は、共通接線が $C_1, C_2$ の上側にあり、共有点 $x=2$ を境に下側の曲線が $C_2$ から $C_1$ に入れ替わることを利用して、定積分で求める。

解法1

まず、曲線

$$ C_1:y=\log x,\qquad C_2:y=\frac{1}{2}\log 2x

$$

を考える。定義域はいずれも $x>0$ である。

（1） 共有点では

$$ \log x=\frac{1}{2}\log 2x

$$

が成り立つ。両辺を $2$ 倍して

$$ 2\log x=\log 2x

$$

となる。ここで

$$ \log 2x=\log 2+\log x

$$

であるから、

$$ 2\log x=\log 2+\log x

$$

より

$$ \log x=\log 2

$$

である。したがって

$$ x=2

$$

であり、このとき

$$ y=\log 2

$$

である。

よって、共有点は

$$ (2,\log 2)

$$

である。

次に （2） を求める。

$C_1$ 上の接点を $x=a$ とおく。ただし $a>0$ である。$C_1$ の導関数は

$$ y'=\frac{1}{x}

$$

であるから、$x=a$ における接線は

$$ y=\log a+\frac{1}{a}(x-a)

$$

すなわち

$$ y=\frac{x}{a}+\log a-1

$$

である。

一方、$C_2$ 上の接点を $x=b$ とおく。ただし $b>0$ である。$C_2$ の導関数は

$$ y'=\frac{1}{2x}

$$

であるから、$x=b$ における接線は

$$ y=\frac{1}{2}\log 2b+\frac{1}{2b}(x-b)

$$

すなわち

$$ y=\frac{x}{2b}+\frac{1}{2}\log 2b-\frac{1}{2}

$$

である。

同じ直線であるためには、傾きと切片がそれぞれ等しい必要がある。よって

$$ \frac{1}{a}=\frac{1}{2b}

$$

より

$$ a=2b

$$

である。また切片について

$$ \log a-1=\frac{1}{2}\log 2b-\frac{1}{2}

$$

が成り立つ。$a=2b$ を代入すると

$$ \log 2b-1=\frac{1}{2}\log 2b-\frac{1}{2}

$$

となる。整理して

$$ \frac{1}{2}\log 2b=\frac{1}{2}

$$

より

$$ \log 2b=1

$$

である。したがって

$$ 2b=e

$$

より

$$ b=\frac{e}{2},\qquad a=e

$$

である。

このとき、共通接線は

$$ y=\frac{x}{e}+\log e-1

$$

であり、$\log e=1$ だから

$$ y=\frac{x}{e}

$$

である。

次に （3） を求める。

共通接線 $y=x/e$ は、$C_2$ に $x=e/2$ で接し、$C_1$ に $x=e$ で接する。また、$C_1$ と $C_2$ の共有点は $x=2$ である。

さらに

$$ \frac{1}{2}\log 2x-\log x =\frac{1}{2}\log \frac{2}{x}

$$

であるから、$x<2$ では $C_2$ が $C_1$ より上にあり、$x>2$ では $C_1$ が $C_2$ より上にある。

したがって、求める面積 $S$ は

$$ S=\int_{e/2}^{2}\left(\frac{x}{e}-\frac{1}{2}\log 2x\right),dx +\int_{2}^{e}\left(\frac{x}{e}-\log x\right),dx

$$

である。

まず

$$ \begin{aligned} \int_{e/2}^{2}\frac{x}{e},dx &= \left[\frac{x^2}{2e}\right]_{e/2}^{2} \\ \frac{2}{e}-\frac{e}{8} \end{aligned} $$

である。また

$$ \begin{aligned} \int \frac{1}{2}\log 2x,dx &= \frac{1}{2}(x\log 2x-x) \end{aligned} $$

だから、

$$ \begin{aligned} \int_{e/2}^{2}\frac{1}{2}\log 2x,dx &= \left[\frac{1}{2}(x\log 2x-x)\right]_{e/2}^{2} \\ 2\log 2-1 \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} \int_{e/2}^{2}\left(\frac{x}{e}-\frac{1}{2}\log 2x\right),dx &= 1+\frac{2}{e}-\frac{e}{8}-2\log 2 \end{aligned} $$

である。

次に

$$ \begin{aligned} \int_{2}^{e}\frac{x}{e},dx &= \left[\frac{x^2}{2e}\right]_{2}^{e} \\ \frac{e}{2}-\frac{2}{e} \end{aligned} $$

である。また

$$ \int \log x,dx=x\log x-x

$$

だから、

$$ \begin{aligned} \int_{2}^{e}\log x,dx &= [x\log x-x]_{2}^{e} \\ 2-2\log 2 \end{aligned} $$

である。よって

$$ \begin{aligned} \int_{2}^{e}\left(\frac{x}{e}-\log x\right),dx &= \frac{e}{2}-\frac{2}{e}-2+2\log 2 \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} S &= \left(1+\frac{2}{e}-\frac{e}{8}-2\log 2\right) + \left(\frac{e}{2}-\frac{2}{e}-2+2\log 2\right)\\ &= \frac{3e}{8}-1 \end{aligned}

$$

である。

解説

共通接線は、各曲線の一般の接線を作ってから、傾きと切片を比較するのが最も確実である。特に、接点の $x$ 座標を $a,b$ と分けておくと、条件が整理しやすい。

面積では、どの曲線が上側・下側にあるかを確認する必要がある。共通接線は接線であり、対数関数はいずれも上に凸ではなく下に凸、すなわち上に反った形ではないため、接線が曲線の上側にくる。さらに $C_1$ と $C_2$ は $x=2$ で交わるので、積分区間を $[e/2,2]$ と $[2,e]$ に分けることが重要である。

答え

**(1)**

$$ (2,\log 2)

$$

**(2)**

$$ y=\frac{x}{e}

$$

**(3)**

$$ \frac{3e}{8}-1

$$