解説

方針・初手

接線の方程式を先に求め、$f(x)=g(x)$ を解く。接点では重解になるはずなので、交点を調べる方程式を因数分解すれば、接点以外の共有点がただ1つであることも同時に分かる。

定積分では、まず $f(x)-g(x)$ を因数分解した形で表し、それを2乗して有理関数の積分に帰着する。

解法1

まず

$$ f(x)=\frac{x}{x^2+3}

$$

より、

$$ f'(x)=\frac{(x^2+3)-2x^2}{(x^2+3)^2} =\frac{3-x^2}{(x^2+3)^2}

$$

である。

したがって、

$$ f(1)=\frac{1}{4}, \qquad f'(1)=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}

$$

であるから、点 $A(1,f(1))$ における接線 $\ell$ は

$$ y-\frac14=\frac18(x-1)

$$

すなわち

$$ g(x)=\frac{x+1}{8}

$$

である。

$C$ と $\ell$ の共有点は $f(x)=g(x)$ を満たす点であるから、

$$ \frac{x}{x^2+3}=\frac{x+1}{8}

$$

を解けばよい。両辺に $8(x^2+3)$ をかけると、

$$ 8x=(x+1)(x^2+3)

$$

である。整理して

$$ x^3+x^2-5x+3=0

$$

となる。左辺は

$$ x^3+x^2-5x+3=(x-1)^2(x+3)

$$

と因数分解できるので、共有点の $x$ 座標は

$$ x=1,\ -3

$$

である。

$x=1$ は接点 $A$ に対応する。したがって、$A$ と異なる共有点はただ1つ存在し、その $x$ 座標は

$$ \alpha=-3

$$

である。

次に、定積分

$$ \int_{\alpha}^{1}{f(x)-g(x)}^2,dx

$$

を計算する。$\alpha=-3$ であるから、積分区間は $[-3,1]$ である。

まず

$$ \begin{aligned} f(x)-g(x) &= \frac{x}{x^2+3}-\frac{x+1}{8} \end{aligned} $$

である。通分すると、

$$ \begin{aligned} f(x)-g(x) &=\frac{8x-(x+1)(x^2+3)}{8(x^2+3)}\\ &=-\frac{x^3+x^2-5x+3}{8(x^2+3)}\\ &=-\frac{(x-1)^2(x+3)}{8(x^2+3)} \end{aligned}

$$

となる。

よって

$$ \begin{aligned} {f(x)-g(x)}^2 &= \frac{(x-1)^4(x+3)^2}{64(x^2+3)^2} \end{aligned} $$

である。これを部分分数分解すると、

$$ \begin{aligned} \frac{(x-1)^4(x+3)^2}{64(x^2+3)^2} &= \frac{x^2}{64}+\frac{x}{32}-\frac{15}{64} -\frac{x-7}{4(x^2+3)} -\frac{3}{(x^2+3)^2} \end{aligned} $$

である。したがって、求める積分を $I$ とおくと、

$$ \begin{aligned} I &=\int_{-3}^{1} \left( \frac{x^2}{64}+\frac{x}{32}-\frac{15}{64} -\frac{x-7}{4(x^2+3)} -\frac{3}{(x^2+3)^2} \right)dx\\ &=\int_{-3}^{1} \left( \frac{x^2}{64}+\frac{x}{32}-\frac{15}{64} \right)dx -\frac14\int_{-3}^{1}\frac{x}{x^2+3},dx\\ &\qquad +\frac74\int_{-3}^{1}\frac{1}{x^2+3},dx -3\int_{-3}^{1}\frac{1}{(x^2+3)^2},dx \end{aligned}

$$

となる。

まず多項式部分は

$$ \begin{aligned} \int_{-3}^{1} \left( \frac{x^2}{64}+\frac{x}{32}-\frac{15}{64} \right)dx &= \left[ \frac{x^3}{192}+\frac{x^2}{64}-\frac{15x}{64} \right]_{-3}^{1}\\ &=-\frac{11}{12} \end{aligned}

$$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \int_{-3}^{1}\frac{x}{x^2+3},dx &= \left[ \frac12\log(x^2+3) \right]_{-3}^{1} &= \frac12(\log4-\log12) \\ -\frac12\log3 \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} -\frac14\int_{-3}^{1}\frac{x}{x^2+3},dx &= \frac18\log3 \end{aligned} $$

である。

次に

$$ J_1=\int_{-3}^{1}\frac{1}{x^2+3},dx,\qquad J_2=\int_{-3}^{1}\frac{1}{(x^2+3)^2},dx

$$

を計算する。

$x=\sqrt3\tan\theta$ とおく。このとき、$x=-3$ のとき $\theta=-\dfrac{\pi}{3}$、$x=1$ のとき $\theta=\dfrac{\pi}{6}$ である。

まず

$$ dx=\sqrt3\sec^2\theta,d\theta,\qquad x^2+3=3\sec^2\theta

$$

より、

$$ \begin{aligned} J_1 &=\int_{-\pi/3}^{\pi/6} \frac{\sqrt3\sec^2\theta}{3\sec^2\theta},d\theta\\ &=\frac{1}{\sqrt3} \left[ \theta \right]_{-\pi/3}^{\pi/6}\\ &=\frac{1}{\sqrt3}\cdot\frac{\pi}{2}\\ &=\frac{\pi}{2\sqrt3} \end{aligned}

$$

である。

また、

$$ \begin{aligned} J_2 &=\int_{-\pi/3}^{\pi/6} \frac{\sqrt3\sec^2\theta}{9\sec^4\theta},d\theta\\ &=\frac{\sqrt3}{9} \int_{-\pi/3}^{\pi/6}\cos^2\theta,d\theta \end{aligned}

$$

である。ここで

$$ \cos^2\theta=\frac{1+\cos2\theta}{2}

$$

だから、

$$ \begin{aligned} J_2 &=\frac{\sqrt3}{9} \left[ \frac{\theta}{2}+\frac{\sin2\theta}{4} \right]_{-\pi/3}^{\pi/6}\\ &=\frac{\sqrt3}{9} \left( \frac{\pi}{4} + \frac{1}{4} \left\{ \sin\frac{\pi}{3}-\sin\left(-\frac{2\pi}{3}\right) \right\} \right)\\ &=\frac{\sqrt3}{9} \left( \frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt3}{4} \right)\\ &=\frac{\sqrt3\pi}{36}+\frac{1}{12} \end{aligned}

$$

である。

以上をまとめると、

$$ \begin{aligned} I &=-\frac{11}{12} +\frac18\log3 +\frac74\cdot\frac{\pi}{2\sqrt3} -3\left( \frac{\sqrt3\pi}{36}+\frac{1}{12} \right)\\ &=-\frac{11}{12} +\frac18\log3 +\frac{7\pi}{8\sqrt3} -\frac{\sqrt3\pi}{12} -\frac14\\ &=-\frac{7}{6} +\frac18\log3 +\frac{5\sqrt3\pi}{24} \end{aligned}

$$

である。

解説

接線との交点を調べる問題では、接点に対応する解が重解になることが多い。この問題でも、$f(x)=g(x)$ から得られる3次方程式が

$$ (x-1)^2(x+3)=0

$$

と因数分解され、$x=1$ が接点、$x=-3$ が接点以外の共有点であることが分かる。

定積分では、$f(x)-g(x)$ をそのまま展開するのではなく、

$$ f(x)-g(x)=-\frac{(x-1)^2(x+3)}{8(x^2+3)}

$$

と因数分解された形で押さえることが重要である。その後は有理関数の積分になるため、部分分数分解と三角置換で処理できる。

答え

**(1)**

$A$ と異なる共有点はただ1つ存在し、その $x$ 座標は

$$ -3

$$

である。

**(2)**

$$ \begin{aligned} \int_{\alpha}^{1}{f(x)-g(x)}^2,dx &= -\frac{7}{6} +\frac18\log3 +\frac{5\sqrt3\pi}{24} \end{aligned} $$