解説

方針・初手

接点 $A,B$ が $y$ 軸に関して対称であることから、接点の座標を1つの文字で表す。円の半径は接点における接線と垂直であるので、まずこの条件と正三角形の条件から接点を決定する。

その後、求める面積は対称性により、右半分を積分して2倍すればよい。

解法1

接点 $A$ の $x$ 座標を $a$ とおく。$A$ と $B$ は $y$ 軸に関して対称であり、$A$ は $C_1$ 上、$B$ は $C_2$ 上にあるので、

$$ A=\left(a,\sqrt{3}\log(1+a)\right),\quad B=\left(-a,\sqrt{3}\log(1+a)\right)

$$

と表せる。ただし、正三角形は退化しないので $a\neq 0$ である。また $C_1$ の定義域より $a>-1$ である。

円の中心を

$$ P=(0,q)

$$

とおく。

曲線 $C_1:y=\sqrt{3}\log(1+x)$ の導関数は

$$ y'=\frac{\sqrt{3}}{1+x}

$$

であるから、点 $A$ における接線の傾きは

$$ \frac{\sqrt{3}}{1+a}

$$

である。

一方、半径 $PA$ の傾きは

$$ \frac{\sqrt{3}\log(1+a)-q}{a}

$$

である。円は $C_1$ に点 $A$ で接しているので、半径 $PA$ は接線に垂直である。したがって

$$ \frac{\sqrt{3}}{1+a}\cdot \frac{\sqrt{3}\log(1+a)-q}{a}=-1

$$

より、

$$ q-\sqrt{3}\log(1+a)=\frac{a(1+a)}{\sqrt{3}}

$$

を得る。

また、$\triangle PAB$ は正三角形である。$AB=2|a|$ であり、

$$ PA^2=a^2+\left(q-\sqrt{3}\log(1+a)\right)^2

$$

であるから、

$$ a^2+\left(q-\sqrt{3}\log(1+a)\right)^2=4a^2

$$

すなわち

$$ \left(q-\sqrt{3}\log(1+a)\right)^2=3a^2

$$

である。

先ほどの式を代入すると、

$$ \left(\frac{a(1+a)}{\sqrt{3}}\right)^2=3a^2

$$

となる。$a\neq 0$ より、

$$ (1+a)^2=9

$$

である。さらに $a>-1$ なので $1+a>0$ であり、

$$ 1+a=3

$$

したがって

$$ a=2

$$

である。

よって

$$ A=\left(2,\sqrt{3}\log 3\right),\quad B=\left(-2,\sqrt{3}\log 3\right)

$$

である。また

$$ q-\sqrt{3}\log3=\frac{2\cdot3}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}

$$

より、

$$ P=\left(0,\sqrt{3}(\log3+2)\right)

$$

である。

正三角形の一辺は

$$ AB=4

$$

なので、円 $C$ の半径も $4$ である。したがって円 $C$ の方程式は

$$ x^2+\left(y-\sqrt{3}(\log3+2)\right)^2=16

$$

である。

求める領域は、原点から $A$ までの $C_1$、原点から $B$ までの $C_2$、および円 $C$ の下側の弧で囲まれる部分である。円の下側の弧は

$$ y=\sqrt{3}(\log3+2)-\sqrt{16-x^2}

$$

である。

対称性より、面積を $S$ とすると

$$ S=2\int_0^2\left\{\sqrt{3}(\log3+2)-\sqrt{16-x^2}-\sqrt{3}\log(1+x)\right\},dx

$$

である。

ここで、

$$ \begin{aligned} \int_0^2 \sqrt{16-x^2},dx &= \left[\frac{x}{2}\sqrt{16-x^2}+8\arcsin\frac{x}{4}\right]_0^2 \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_0^2 \sqrt{16-x^2},dx &= 2\sqrt{3}+\frac{4\pi}{3} \end{aligned} $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \int_0^2 \log(1+x),dx &= \left[(1+x)\log(1+x)-(1+x)\right]_0^2 \end{aligned} $$

より、

$$ \begin{aligned} \int_0^2 \log(1+x),dx &= 3\log3-2 \end{aligned} $$

である。

したがって

$$ \begin{aligned} S &=2\left\{2\sqrt{3}(\log3+2)-\left(2\sqrt{3}+\frac{4\pi}{3}\right)-\sqrt{3}(3\log3-2)\right\} \\ &=2\left(4\sqrt{3}-\sqrt{3}\log3-\frac{4\pi}{3}\right) \\ &=8\sqrt{3}-2\sqrt{3}\log3-\frac{8\pi}{3} \end{aligned}

$$

である。

解説

この問題の要点は、面積計算よりも先に接点を決めることである。円が曲線に接するという条件は、「接点における接線」と「円の半径」が垂直であることに言い換えられる。

また、$A,B$ が $y$ 軸対称で、$P$ が $y$ 軸上にあるため、$\triangle PAB$ の形は非常に制限される。接線条件と正三角形条件を連立することで、接点の $x$ 座標が $a=2$ と一意に決まる。

面積は左右対称なので、右半分だけを考えればよい。上側の境界は円の下側の弧、下側の境界は $C_1$ である。

答え

$$ \boxed{8\sqrt{3}-2\sqrt{3}\log3-\frac{8\pi}{3}}

$$