基礎問題集
数学3 積分法「その他応用」の問題5 解説
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解説
方針・初手
与えられた連立微分方程式は
$$ \frac{dx}{dt}=-y+t\cos t,\qquad \frac{dy}{dt}=x+t\sin t
$$
であり、$x,y$ が回転しながら変化する形になっている。
そこで問題文で与えられた
$$ A(t)=x(t)\sin t-y(t)\cos t,\qquad B(t)=x(t)\cos t+y(t)\sin t
$$
を微分すると、連立方程式が大きく簡単になる。まず $A'(t),B'(t)$ を求め、初期条件から $A(t),B(t)$ を決定し、その後 $x(t),y(t)$ を逆に求める。
解法1
まず
$$ A(t)=x(t)\sin t-y(t)\cos t
$$
を微分する。
$$ \begin{aligned} A'(t) &=x'(t)\sin t+x(t)\cos t-y'(t)\cos t+y(t)\sin t \end{aligned}
$$
ここで
$$ x'(t)=-y(t)+t\cos t,\qquad y'(t)=x(t)+t\sin t
$$
を代入すると、
$$ \begin{aligned} A'(t) &=\bigl(-y+t\cos t\bigr)\sin t+x\cos t-\bigl(x+t\sin t\bigr)\cos t+y\sin t \\ &=-y\sin t+t\sin t\cos t+x\cos t-x\cos t-t\sin t\cos t+y\sin t \\ &=0 \end{aligned}
$$
したがって $A(t)$ は定数である。初期条件 $x(0)=1,\ y(0)=0$ より
$$ A(0)=x(0)\sin 0-y(0)\cos 0=1\cdot 0-0\cdot 1=0
$$
であるから、
$$ A(t)=0
$$
となる。
次に
$$ B(t)=x(t)\cos t+y(t)\sin t
$$
を微分する。
$$ \begin{aligned} B'(t) &=x'(t)\cos t-x(t)\sin t+y'(t)\sin t+y(t)\cos t \end{aligned}
$$
同様に代入すると、
$$ \begin{aligned} B'(t) &=\bigl(-y+t\cos t\bigr)\cos t-x\sin t+\bigl(x+t\sin t\bigr)\sin t+y\cos t \\ &=-y\cos t+t\cos^2 t-x\sin t+x\sin t+t\sin^2 t+y\cos t \\ &=t(\cos^2 t+\sin^2 t) \\ &=t \end{aligned}
$$
よって
$$ B(t)=\frac{t^2}{2}+C
$$
と書ける。初期条件より
$$ B(0)=x(0)\cos 0+y(0)\sin 0=1
$$
だから $C=1$ であり、
$$ B(t)=1+\frac{t^2}{2}
$$
を得る。
以上より
$$ x(t)\sin t-y(t)\cos t=0, \qquad x(t)\cos t+y(t)\sin t=1+\frac{t^2}{2}
$$
が成り立つ。
ここで
$$ \begin{pmatrix} B(t) \\ A(t) \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ \sin t & -\cos t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix}
$$
であり、この行列は自分自身が逆行列であるから、
$$ \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ \sin t & -\cos t \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B(t) \\ A(t) \end{pmatrix}
$$
となる。したがって
$$ x(t)=B(t)\cos t+A(t)\sin t,\qquad y(t)=B(t)\sin t-A(t)\cos t
$$
である。ここに
$$ A(t)=0,\qquad B(t)=1+\frac{t^2}{2}
$$
を代入して、
$$ x(t)=\left(1+\frac{t^2}{2}\right)\cos t,\qquad y(t)=\left(1+\frac{t^2}{2}\right)\sin t
$$
を得る。
解説
この問題の要点は、$x,y$ をそのまま解こうとするのではなく、$\sin t,\cos t$ で組み合わせた $A(t),B(t)$ を考えることである。
もとの式は $x,y$ が回転運動の形をしているため、適切に座標を回転させると
$$ A'(t)=0,\qquad B'(t)=t
$$
という一次元の簡単な微分方程式に落ちる。計算量が少なく、構造も見えやすい解法である。
答え
**(1)**
$$ A(t)=0,\qquad B(t)=1+\frac{t^2}{2}
$$
**(2)**
$$ x(t)=\left(1+\frac{t^2}{2}\right)\cos t,\qquad y(t)=\left(1+\frac{t^2}{2}\right)\sin t
$$