解説

方針・初手

速さが与えられているが、点 $P$ は放物線 $y=\dfrac{x^2}{2}$ 上を動くので、まず弧長の微小量 $ds$ を $dx$ で表す。

そのうえで

$$ \frac{ds}{dt}=\frac{1}{3x}

$$

を用いて $x$ と $t$ の関係式を作り、初期条件 $x=1$（$t=0$）を使って積分定数を定める。

解法1

放物線

$$ y=\frac{x^2}{2}

$$

上で

$$ \frac{dy}{dx}=x

$$

であるから、弧長要素 $ds$ は

$$ ds=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2},dx=\sqrt{1+x^2},dx

$$

となる。

一方、問題より点 $P$ の速さは

$$ \frac{ds}{dt}=\frac{1}{3x}

$$

である。

したがって

$$ \sqrt{1+x^2},\frac{dx}{dt}=\frac{1}{3x}

$$

より

$$ \frac{dt}{dx}=3x\sqrt{1+x^2}

$$

を得る。

ここで、点 $P$ は $A(1,\frac12)$ を出発して原点から遠ざかる向きに進む。$x=1>0$ であり、放物線上で $x$ が増加すると原点からの距離も増加するので、この運動では $x\ge 1$ で増加していく。よって $t=0$ のとき $x=1$ を用いて積分すると、

$$ t=\int_1^x 3u\sqrt{1+u^2},du

$$

である。

ここで

$$ \int 3u\sqrt{1+u^2},du=(1+u^2)^{3/2}

$$

であるから、

$$ t=\left[(1+u^2)^{3/2}\right]_1^x =(1+x^2)^{3/2}-(1+1^2)^{3/2}

$$

すなわち

$$ t=(1+x^2)^{3/2}-2\sqrt2

$$

となる。

これを $x$ について解くと、

$$ (1+x^2)^{3/2}=t+2\sqrt2

$$

より

$$ 1+x^2=(t+2\sqrt2)^{2/3}

$$

したがって

$$ x^2=(t+2\sqrt2)^{2/3}-1

$$

となる。ここで $x\ge 1>0$ なので正の平方根をとって、

$$ x=\sqrt{(t+2\sqrt2)^{2/3}-1}

$$

を得る。

解説

この問題の要点は、与えられた「速さ」が $x$ の変化速度 $\dfrac{dx}{dt}$ ではなく、曲線に沿った速さ $\dfrac{ds}{dt}$ である点にある。

したがって、まず

$$ ds=\sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2},dx

$$

を立ててから、$\dfrac{ds}{dt}$ と結びつける必要がある。ここを $\dfrac{dx}{dt}=\dfrac{1}{3x}$ としてしまうと誤りである。

答え

$$ x=\sqrt{(t+2\sqrt2)^{2/3}-1}\qquad (t\ge 0)

$$

である。