基礎問題集
数学3 積分法「その他応用」の問題13 解説
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解説
方針・初手
連立のまま扱うより、$x+y$ と $x-y$ を考えると式が分離できる。実際、右辺に $x,y$ が対称的に現れているので、和と差を取るのが自然である。
解法1
$$ u=x+y,\quad v=x-y
$$
とおく。
すると、
$$ \frac{du}{dt}=\frac{dx}{dt}+\frac{dy}{dt}
$$
であり、与えられた微分方程式
$$ \frac{dx}{dt}=y-2x,\qquad \frac{dy}{dt}=x-2y
$$
を用いると、
$$ \frac{du}{dt}=(y-2x)+(x-2y)=-(x+y)=-u
$$
となる。したがって、
$$ \frac{du}{dt}=-u
$$
より、
$$ u=Ce^{-t}
$$
である。
同様に、
$$ \frac{dv}{dt}=\frac{dx}{dt}-\frac{dy}{dt}
$$
だから、
$$ \frac{dv}{dt}=(y-2x)-(x-2y)=3y-3x=-3(x-y)=-3v
$$
となる。よって、
$$ \frac{dv}{dt}=-3v
$$
より、
$$ v=De^{-3t}
$$
である。
次に初期条件 $t=0$ のとき $x=1,\ y=0$ を用いる。
このとき、
$$ u(0)=x(0)+y(0)=1,\qquad v(0)=x(0)-y(0)=1
$$
であるから、
$$ C=1,\qquad D=1
$$
となる。したがって、
$$ u=e^{-t},\qquad v=e^{-3t}
$$
である。
ここで
$$ x=\frac{u+v}{2},\qquad y=\frac{u-v}{2}
$$
であるから、
$$ x=\frac{e^{-t}+e^{-3t}}{2},\qquad y=\frac{e^{-t}-e^{-3t}}{2}
$$
を得る。
解説
この問題の要点は、連立微分方程式をそのまま解こうとせず、和 $x+y$ と差 $x-y$ に着目して一次の微分方程式2本に分解することである。
係数の並びが対称的なときは、和と差を取ると独立な式に落ちることが多い。本問もその典型である。
答え
$$ x=\frac{e^{-t}+e^{-3t}}{2},\qquad y=\frac{e^{-t}-e^{-3t}}{2}
$$