解説

方針・初手

与えられた積分方程式は、上端が $x+1$ であるから、まず両辺を $x$ で微分するのが自然である。

微分すると、微積分の基本定理により $f'(x)$ の式が得られる。そこから積分して $f(x)$ を求め、最後に条件 $f(1)=2$ を用いて積分定数を定める。

解法1

与えられた関係式は

$$ \int_1^{x+1} t^2 f'(t),dt = x(x^2+2x+3)e^x

$$

である。

両辺を $x$ で微分する。左辺は微積分の基本定理より

$$ \frac{d}{dx}\int_1^{x+1} t^2 f'(t),dt=(x+1)^2f'(x+1)

$$

となる。

右辺は積の微分法により

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}\bigl(x(x^2+2x+3)e^x\bigr) &= \bigl((x^3+2x^2+3x)'+x^3+2x^2+3x\bigr)e^x \end{aligned} $$

であり、

$$ (x^3+2x^2+3x)'=3x^2+4x+3

$$

だから

$$ \begin{aligned} \frac{d}{dx}\bigl(x(x^2+2x+3)e^x\bigr) &= (x^3+5x^2+7x+3)e^x \end{aligned} $$

となる。ここで

$$ x^3+5x^2+7x+3=(x+1)^2(x+3)

$$

であるから、

$$ (x+1)^2f'(x+1)=(x+1)^2(x+3)e^x

$$

を得る。

ここで $y=x+1$ とおくと

$$ y^2f'(y)=y^2(y+2)e^{y-1}

$$

となる。したがって $y\neq 0$ では

$$ f'(y)=(y+2)e^{y-1}

$$

である。さらに $f'(y)$ は連続であるから、この式は $y=0$ を含めてすべての実数 $y$ で成り立つ。よって

$$ f'(x)=(x+2)e^{x-1}

$$

である。

これを積分すると、

$$ f(x)=\int (x+2)e^{x-1},dx

$$

であるが、

$$ \frac{d}{dx}\bigl((x+1)e^{x-1}\bigr)=(x+2)e^{x-1}

$$

だから

$$ f(x)=(x+1)e^{x-1}+C

$$

と表される。

条件 $f(1)=2$ を用いると、

$$ 2=f(1)=(1+1)e^{0}+C=2+C

$$

より

$$ C=0

$$

である。

したがって

$$ f(x)=(x+1)e^{x-1}

$$

となる。

解説

この問題の要点は、積分方程式をそのまま扱うのではなく、まず微分して $f'(x)$ を直接取り出すことである。

上端が $x+1$ の形なので、微分後には $(x+1)^2f'(x+1)$ が現れる。右辺を整理すると $(x+1)^2$ が因数として現れ、きれいに消える。最後に $f'$ の連続性を使うことで、途中で除外された点も含めて式を全域に拡張できる。

答え

$$ f(x)=(x+1)e^{x-1}

$$