解説

方針・初手

条件 （ロ） から、曲線 $C_1$ 上の点における接線の情報を用いて $g(x)$ を $f(x)$ と $f'(x)$ で表す。

一方、面積条件 $S_1=S_2$ は、積分で表して微分すれば $f$ と $g$ の関係式になる。

この2つを連立すれば、$f(x)$ の微分方程式が得られる。

解法1

曲線 $C_1$ 上の点 $P$ の $x$ 座標を $x$ とすると、

$$ P=(x,\ f(x))

$$

である。

接線と中点の条件を式にする

点 $P$ における $C_1$ の接線の方程式は

$$ y-f(x)=f'(x)(X-x)

$$

である。これが $y$ 軸と交わる点を $Q$ とすると、$X=0$ を代入して

$$ Q=(0,\ f(x)-x f'(x))

$$

となる。

したがって、線分 $PQ$ の中点 $M$ は

$$ M=\left(\frac{x}{2},\ \frac{f(x)+{f(x)-x f'(x)}}{2}\right) =\left(\frac{x}{2},\ f(x)-\frac{x}{2}f'(x)\right)

$$

である。

条件 （ロ） より、この点 $M$ は常に曲線 $C_2:y=g(x)$ 上にあるから、

$$ g\left(\frac{x}{2}\right)=f(x)-\frac{x}{2}f'(x) \qquad \cdots \text{(1)}

$$

を得る。

面積条件を式にする

$f(x),g(x)$ は正であるから、$S_1,S_2$ はそれぞれ曲線の下の面積である。

$t>0$ に対し、

$$ S_1=\left|\int_1^t f(x),dx\right|,\qquad S_2=\left|\int_{1/2}^{t/2} g(x),dx\right|

$$

である。

ここで、$t>1$ のときも $0<t<1$ のときも、両辺の積分は同符号であるから、$S_1=S_2$ より

$$ \int_1^t f(x),dx=\int_{1/2}^{t/2} g(x),dx

$$

が成り立つ。

両辺を $t$ で微分すると、

$$ f(t)=\frac{1}{2}g\left(\frac{t}{2}\right)

$$

すなわち

$$ g\left(\frac{x}{2}\right)=2f(x) \qquad \cdots \text{(2)}

$$

を得る。

微分方程式を解く

（1）, （2） より

$$ 2f(x)=f(x)-\frac{x}{2}f'(x)

$$

したがって

$$ f(x)=-\frac{x}{2}f'(x)

$$

すなわち

$$ x f'(x)+2f(x)=0

$$

となる。

これを解くと、

$$ \frac{f'(x)}{f(x)}=-\frac{2}{x}

$$

より

$$ \log f(x)=-2\log x + C

$$

したがって

$$ f(x)=\frac{A}{x^2} \qquad (A>0)

$$

となる。

さらに条件 （ハ） より、曲線 $C_1$ は点 $(1,2)$ を通るので

$$ f(1)=2

$$

であり、

$$ A=2

$$

を得る。

よって

$$ f(x)=\frac{2}{x^2}

$$

である。

解説

この問題の核心は、条件 （ロ） を図形的な文章のまま終わらせず、接線の式を用いて

$$ g\left(\frac{x}{2}\right)=f(x)-\frac{x}{2}f'(x)

$$

という関係式に落とすことである。

また、面積が任意の $t>0$ に対して一致するという条件は、積分等式を作って微分するのが定石である。これにより $g\left(\frac{x}{2}\right)=2f(x)$ が出て、あとは微分方程式になる。

途中で $f(x),g(x)$ が正であるという条件 （イ） が、面積を単純に積分で扱うために効いている。

答え

$$ f(x)=\frac{2}{x^2}\qquad (x>0)

$$