解説

方針・初手

速度ベクトルは座標を時刻 $t$ で微分すればよい。

また、道のりは速さの積分で求まるので、まず速度ベクトルの大きさを簡単にすることを目指す。

解法1

点 $P$ の座標は

$$ x=e^{-t}\cos t,\qquad y=e^{-t}\sin t

$$

である。

（1） 速度ベクトル

$x,\ y$ をそれぞれ $t$ で微分すると、

$$ \frac{dx}{dt} =-e^{-t}\cos t-e^{-t}\sin t =-e^{-t}(\cos t+\sin t)

$$

$$ \frac{dy}{dt} =-e^{-t}\sin t+e^{-t}\cos t =e^{-t}(\cos t-\sin t)

$$

したがって、時刻 $t$ における速度ベクトルは

$$ \begin{aligned} \left(\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}\right) &= \left(-e^{-t}(\cos t+\sin t),\,e^{-t}(\cos t-\sin t)\right) \end{aligned} $$

である。

（2） 道のり $f(a)$

速さは速度ベクトルの大きさであるから、

$$ \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}

$$

を求めればよい。

上の結果を用いると、

$$ \begin{aligned} \left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 &= e^{-2t}(\cos t+\sin t)^2+e^{-2t}(\cos t-\sin t)^2 \\ &= e^{-2t}\left\{(\cos t+\sin t)^2+(\cos t-\sin t)^2\right\} \\ &= e^{-2t}\left\{2\cos^2 t+2\sin^2 t\right\} \\ &= 2e^{-2t} \end{aligned} $$

よって速さは

$$ \sqrt{2e^{-2t}}=\sqrt{2}e^{-t}

$$

である。したがって、時刻 $0$ から $a$ までの道のりは

$$ \begin{aligned} f(a) &= \int_0^a \sqrt{2}e^{-t}\,dt \\ &= \sqrt{2}\left[-e^{-t}\right]_0^a \\ &= \sqrt{2}(1-e^{-a}) \end{aligned} $$

となる。

（3） $\displaystyle \lim_{a\to\infty}f(a)$

（2） の結果より、

$$ f(a)=\sqrt{2}(1-e^{-a})

$$

だから、$a\to\infty$ のとき $e^{-a}\to 0$ を用いて、

$$ \lim_{a\to\infty}f(a)=\sqrt{2}

$$

となる。

解説

媒介変数表示された運動では、まず $\frac{dx}{dt},\frac{dy}{dt}$ を求めれば、速度ベクトルと速さの両方が得られる。

この問題の要点は、速さの計算で

$$ (\cos t+\sin t)^2+(\cos t-\sin t)^2=2

$$

となり、三角関数をきれいに消せることである。ここが見えれば、道のりは指数関数の積分だけになる。

答え

**(1)**

速度ベクトルは

$$ \left( -e^{-t}(\cos t+\sin t), e^{-t}(\cos t-\sin t) \right)

$$

である。

**(2)**

$$ f(a)=\sqrt{2}(1-e^{-a})

$$

**(3)**

$$ \lim_{a\to\infty}f(a)=\sqrt{2}

$$