基礎問題集
数学3 積分法「その他応用」の問題27 解説
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解説
方針・初手
媒介変数表示された曲線の長さは
$$ L=\int_{0}^{t_0}\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2},dt
$$
で求められる。したがって、まず $x,y$ を $t$ で微分し、被積分関数を簡単にする。
解法1
与えられた曲線は
$$ x=\log_e\left(t+\sqrt{t^2+1}\right),\qquad y=\sqrt{t^2+1}
$$
である。
まず $x$ を微分する。合成関数の微分より
$$ \frac{dx}{dt} =\frac{1}{t+\sqrt{t^2+1}}\left(1+\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}\right)
$$
である。右辺を整理すると
$$ 1+\frac{t}{\sqrt{t^2+1}} =\frac{\sqrt{t^2+1}+t}{\sqrt{t^2+1}}
$$
であるから、
$$ \frac{dx}{dt} =\frac{1}{t+\sqrt{t^2+1}}\cdot \frac{\sqrt{t^2+1}+t}{\sqrt{t^2+1}} =\frac{1}{\sqrt{t^2+1}}
$$
となる。
次に $y$ を微分すると
$$ \frac{dy}{dt}=\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}
$$
である。
したがって、弧長の被積分関数は
$$ \begin{aligned} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2} &= \sqrt{\frac{1}{t^2+1}+\frac{t^2}{t^2+1}} \\ \sqrt{1} =1 \end{aligned} $$
となる。
よって、求める長さ $L$ は
$$ L=\int_0^{t_0}1,dt=t_0
$$
である。
解説
この問題の要点は、媒介変数表示のまま弧長公式を使うことである。$x=\log_e\left(t+\sqrt{t^2+1}\right)$ の微分がやや煩雑に見えるが、整理すると $\dfrac{1}{\sqrt{t^2+1}}$ となり、$y$ の微分と合わせると被積分関数がちょうど $1$ になる。ここに気づけば計算は一気に簡単になる。
答え
求める長さは
$$ t_0
$$
である。