解説

方針・初手

曲線は $y=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}$ であり、これは $y=\cosh x$ である。弧長を求めるので、まず $y'$ を計算し、弧長公式

$$ L=\int_\alpha^\beta \sqrt{1+(y')^2},dx

$$

を用いる。

また、求めるのは $y\leqq 5$ の部分なので、先に $x$ の範囲を決める。

解法1

曲線を

$$ y=\frac{e^x+e^{-x}}{2}

$$

とおく。このとき

$$ y'=\frac{e^x-e^{-x}}{2}

$$

である。

弧長公式より、$x=\alpha$ から $x=\beta$ までの曲線の長さは

$$ L=\int_\alpha^\beta \sqrt{1+\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2},dx

$$

で与えられる。

ここで、被積分関数を整理する。

$$ \begin{aligned} 1+\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)^2 &=1+\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}{4} \\ &=\frac{4+e^{2x}-2+e^{-2x}}{4} \\ &=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}{4} \\ &=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2 \end{aligned}

$$

したがって、

$$ \sqrt{1+(y')^2} =\sqrt{\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)^2} =\frac{e^x+e^{-x}}{2}

$$

である。これは常に正であるため、絶対値を外してよい。

次に、$y\leqq 5$ となる $x$ の範囲を求める。

$$ \frac{e^x+e^{-x}}{2}\leqq 5

$$

より、

$$ e^x+e^{-x}\leqq 10

$$

である。$t=e^x,(>0)$ とおくと、

$$ t+\frac{1}{t}\leqq 10

$$

両辺に $t>0$ をかけて

$$ t^2-10t+1\leqq 0

$$

となる。この2次方程式の解は

$$ t=5\pm 2\sqrt{6}

$$

である。したがって

$$ 5-2\sqrt{6}\leqq e^x\leqq 5+2\sqrt{6}

$$

である。

ここで

$$ (5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})=1

$$

より、

$$ 5-2\sqrt{6}=\frac{1}{5+2\sqrt{6}}

$$

である。よって、$a=\log(5+2\sqrt{6})$ とおくと、$x$ の範囲は

$$ -a\leqq x\leqq a

$$

となる。

したがって、求める弧長は

$$ \begin{aligned} L &=\int_{-a}^{a}\frac{e^x+e^{-x}}{2},dx \\ &=\left[\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right]_{-a}^{a} \\ &=\frac{e^a-e^{-a}}{2}-\frac{e^{-a}-e^a}{2} \\ &=e^a-e^{-a} \end{aligned}

$$

である。

ここで

$$ e^a=5+2\sqrt{6},\qquad e^{-a}=5-2\sqrt{6}

$$

だから、

$$ L=(5+2\sqrt{6})-(5-2\sqrt{6})=4\sqrt{6}

$$

となる。

解説

この問題の要点は、弧長公式の中に出てくる

$$ \sqrt{1+(y')^2}

$$

が、もとの $y$ と同じ形に整理できることである。

実際、

$$ y=\frac{e^x+e^{-x}}{2},\qquad y'=\frac{e^x-e^{-x}}{2}

$$

であり、

$$ 1+(y')^2=y^2

$$

が成り立つ。したがって、弧長積分が非常に簡単になる。

また、$y\leqq 5$ の範囲を求めるときは、$e^x=t$ とおいて2次不等式に直すのが自然である。端点が互いに逆数になるため、範囲は対称に $[-a,a]$ と表せる。

答え

$$ 4\sqrt{6}

$$