解説

方針・初手

円 $C$ の中心は、半径 $4-1=3$ の円周上を動くので、まずその中心の座標を $\theta$ で表す。

次に、「すべることなく転がる」条件から、円 $C$ 自身の回転角を求める。すると、中心から点 $P$ へのベクトルも $\theta$ を用いて表せるので、点 $P$ の座標が得られる。

軌跡の長さは、得られた媒介変数表示を微分して弧長を計算する。

解法1

円 $E$ の半径は $4$、円 $C$ の半径は $1$ であるから、円 $C$ の中心を $Q$ とすると、$Q$ は原点 $O$ を中心とする半径 $3$ の円周上を動く。

したがって、$x$ 軸と $\overrightarrow{OQ}$ のなす角が $\theta$ のとき、$Q$ の座標は

$$ Q=(3\cos\theta,\ 3\sin\theta)

$$

である。

初めに点 $P$ は $(4,0)$ にあり、このとき円 $C$ の中心は $(3,0)$ であるから、中心から点 $P$ へのベクトルは最初

$$ \overrightarrow{QP}=(1,0)

$$

である。

ここで、円 $C$ が円 $E$ の内側をすべらずに転がるので、中心 $Q$ が $\theta$ だけ進んだときに円 $C$ が接して移動した弧の長さは、大円側では

$$ 4\theta

$$

である。

一方、半径 $1$ の円 $C$ が自転して回った角を $\varphi$ とすると、その周上で対応する弧の長さは

$$ 1\cdot \varphi=\varphi

$$

である。

すべらないので

$$ \varphi=4\theta

$$

となる。ただし、中心 $Q$ 自身は $\theta$ だけ反時計回りに回っているから、中心から見た半径 $\overrightarrow{QP}$ の向きは、全体として

$$ \varphi-\theta=4\theta-\theta=3\theta

$$

だけ時計回りに回る。したがって、

$$ \overrightarrow{QP}=(\cos 3\theta,\ -\sin 3\theta)

$$

である。

よって、点 $P$ の座標 $(x,y)$ は

$$ \begin{aligned} x&=3\cos\theta+\cos 3\theta,\\ y&=3\sin\theta-\sin 3\theta \end{aligned} \qquad (0\leqq \theta\leqq 2\pi)

$$

となる。

さらに三倍角の公式

$$ \cos 3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta,\qquad \sin 3\theta=3\sin\theta-4\sin^3\theta

$$

を用いると、

$$ x=4\cos^3\theta,\qquad y=4\sin^3\theta

$$

とも表せる。

これで （1） は求まった。

次に （2） を求める。

$$ x=4\cos^3\theta,\qquad y=4\sin^3\theta

$$

を微分すると、

$$ \frac{dx}{d\theta}=-12\cos^2\theta\sin\theta,\qquad \frac{dy}{d\theta}=12\sin^2\theta\cos\theta

$$

であるから、弧長要素は

$$ \begin{aligned} ds &=\sqrt{\left(\frac{dx}{d\theta}\right)^2+\left(\frac{dy}{d\theta}\right)^2},d\theta\\ &=\sqrt{144\cos^4\theta\sin^2\theta+144\sin^4\theta\cos^2\theta},d\theta\\ &=12|\sin\theta\cos\theta|,d\theta \end{aligned}

$$

となる。

この曲線は $x$ 軸・$y$ 軸について対称であるから、第1象限の部分の長さを $4$ 倍すればよい。$0\leqq\theta\leqq \dfrac{\pi}{2}$ では $\sin\theta,\cos\theta\geqq 0$ なので、

$$ L=4\int_0^{\pi/2}12\sin\theta\cos\theta,d\theta

$$

となる。よって、

$$ \begin{aligned} L &=48\int_0^{\pi/2}\sin\theta\cos\theta,d\theta\\ &=48\cdot \frac{1}{2}\\ &=24 \end{aligned}

$$

したがって、点 $P$ の軌跡の長さは $24$ である。

解説

この問題は、内側を転がる円によってできる曲線、いわゆる内サイクロイドの典型例である。

重要なのは、まず小円の中心の動きが半径 $3$ の円になること、そして「すべらない」条件から小円の自転角を弧の長さで決めることである。そこから点 $P$ の位置ベクトルを「中心の位置ベクトル」と「中心から点へのベクトル」の和として表せばよい。

また、三倍角の公式を使うと

$$ x=4\cos^3\theta,\qquad y=4\sin^3\theta

$$

となり、軌跡がアステロイドになることが分かる。弧長計算はこの形に直してから行うと大幅に簡単になる。

答え

**(1)**

点 $P$ の座標は

$$ \begin{aligned} x&=3\cos\theta+\cos 3\theta,\\ y&=3\sin\theta-\sin 3\theta \end{aligned} \qquad (0\leqq \theta\leqq 2\pi)

$$

である。

同値な形として

$$ x=4\cos^3\theta,\qquad y=4\sin^3\theta

$$

としてもよい。

**(2)**

点 $P$ の軌跡の長さは

$$ 24

$$

である。