解説

方針・初手

極方程式 $r=f(\theta)$ で表される曲線の長さは

$$ L=\int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2},d\theta

$$

で求められる。したがって，まず $r=1+\cos\theta$ を微分し，被積分関数を簡単にする。

解法1

与えられた曲線は

$$ r=1+\cos\theta \qquad (0\leqq \theta \leqq \pi)

$$

である。

極方程式の弧長公式より，求める長さ $L$ は

$$ L=\int_0^\pi \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2},d\theta

$$

となる。

ここで

$$ \frac{dr}{d\theta}=-\sin\theta

$$

であるから，

$$ r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2 =(1+\cos\theta)^2+\sin^2\theta

$$

である。これを整理すると，

$$ \begin{aligned} (1+\cos\theta)^2+\sin^2\theta &=1+2\cos\theta+\cos^2\theta+\sin^2\theta \\ &=2+2\cos\theta \\ &=4\cos^2\frac{\theta}{2} \end{aligned}

$$

となる。

したがって，

$$ \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} =2\left|\cos\frac{\theta}{2}\right|

$$

である。

ここで $0\leqq \theta \leqq \pi$ より

$$ 0\leqq \frac{\theta}{2}\leqq \frac{\pi}{2}

$$

であるから，$\cos \dfrac{\theta}{2}\geqq 0$ であり，

$$ \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2} =2\cos\frac{\theta}{2}

$$

となる。

よって，

$$ \begin{aligned} L &=\int_0^\pi 2\cos\frac{\theta}{2},d\theta \\ &=4\int_0^{\pi/2}\cos u,du \qquad \left(u=\frac{\theta}{2}\right) \\ &=4\left[\sin u\right]_0^{\pi/2} \\ &=4 \end{aligned}

$$

したがって，曲線の長さは $4$ である。

解説

この問題の要点は，極方程式の弧長公式を正しく使うことである。計算の本質は

$$ (1+\cos\theta)^2+\sin^2\theta=4\cos^2\frac{\theta}{2}

$$

と変形できることにある。

さらに，平方根を外すときに絶対値が付くが，$\theta$ の範囲が $0\leqq \theta \leqq \pi$ なので $\cos\dfrac{\theta}{2}\geqq 0$ となり，そのまま $2\cos\dfrac{\theta}{2}$ としてよい。この符号確認を落とさないことが重要である。

答え

曲線の長さは

$$ 4

$$

である。