解説

方針・初手

$|e^x-a|$ の符号が変わる点を調べる。$1\leqq a\leqq e$ より、$e^x=a$ となる $x=\log a$ は $0\leqq x\leqq 1$ にある。したがって、$t=\log a$ とおいて、積分区間を $[0,t]$ と $[t,1]$ に分ける。

解法1

$t=\log a$ とおく。このとき $a=e^t$ であり、$0\leqq t\leqq 1$ である。

$0\leqq x\leqq t$ では $e^x\leqq a$、$t\leqq x\leqq 1$ では $e^x\geqq a$ だから、

$$ |e^x-a|= \begin{cases} a-e^x & (0\leqq x\leqq t),\\ e^x-a & (t\leqq x\leqq 1) \end{cases}

$$

である。よって

$$ \begin{aligned} S &=\int_0^t x{2(a-e^x)+a},dx+\int_t^1 x{2(e^x-a)+a},dx\\ &=\int_0^t x(3a-2e^x),dx+\int_t^1 x(2e^x-a),dx \end{aligned}

$$

である。

ここで

$$ \int xe^x,dx=(x-1)e^x

$$

を用いる。

まず、

$$ \begin{aligned} \int_0^t x(3a-2e^x),dx &=\frac{3a}{2}t^2-2\left[(x-1)e^x\right]_0^t\\ &=\frac{3a}{2}t^2-2{(t-1)a+1} \end{aligned}

$$

である。また、

$$ \begin{aligned} \int_t^1 x(2e^x-a),dx &=2\left[(x-1)e^x\right]_t^1-\frac{a}{2}(1-t^2)\\ &=-2(t-1)a-\frac{a}{2}(1-t^2) \end{aligned}

$$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} S &=\frac{3a}{2}t^2-2{(t-1)a+1}-2(t-1)a-\frac{a}{2}(1-t^2)\\ &=2at^2-4at+\frac{7}{2}a-2 \end{aligned}

$$

となる。$t=\log a$ であるから、

$$ S=a\left\{2(\log a)^2-4\log a+\frac{7}{2}\right\}-2

$$

である。

次に、最大値と最小値を求める。$a=e^t$ として

$$ S=e^t\left(2t^2-4t+\frac{7}{2}\right)-2

$$

と見る。ただし $0\leqq t\leqq 1$ である。

微分すると、

$$ \begin{aligned} \frac{dS}{dt} &=e^t\left(2t^2-4t+\frac{7}{2}\right)+e^t(4t-4)\\ &=e^t\left(2t^2-\frac{1}{2}\right)\\ &=\frac{e^t}{2}(4t^2-1) \end{aligned}

$$

である。$e^t>0$ より、符号は $4t^2-1$ で決まる。

$0\leqq t\leqq 1$ において、

$$ 4t^2-1=0

$$

となるのは

$$ t=\frac{1}{2}

$$

である。したがって、$S$ は $0\leqq t<\frac{1}{2}$ で減少し、$\frac{1}{2}<t\leqq 1$ で増加する。

よって最小値は $t=\frac{1}{2}$、すなわち

$$ a=e^{1/2}=\sqrt e

$$

のときにとる。このとき

$$ \begin{aligned} S_{\min} &=e^{1/2}\left(2\cdot\frac14-4\cdot\frac12+\frac72\right)-2\\ &=\sqrt e\left(\frac12-2+\frac72\right)-2\\ &=2\sqrt e-2 \end{aligned}

$$

である。

最大値は端点 $t=0,1$ のどちらかでとる。

$t=0$、すなわち $a=1$ のとき、

$$ S=\frac32

$$

である。

$t=1$、すなわち $a=e$ のとき、

$$ S=\frac32e-2

$$

である。

ここで $2.7<e<2.8$ より、

$$ \frac32e-2>\frac32\cdot 2.7-2=2.05

$$

であり、

$$ 2.05>\frac32

$$

である。したがって、

$$ \frac32e-2>\frac32

$$

となるので、最大値は $a=e$ のときの

$$ \frac32e-2

$$

である。

解説

絶対値を含む積分では、絶対値の中身が $0$ になる点で区間を分けるのが基本である。この問題では $e^x=a$ の解が $x=\log a$ であり、条件 $1\leqq a\leqq e$ によってこの点が必ず積分区間 $[0,1]$ に入る。

その後は $a$ のまま扱うより、$t=\log a$ とおいて $a=e^t$ と見る方が、最大・最小の判定が簡単になる。特に、微分後に

$$ \frac{dS}{dt}=\frac{e^t}{2}(4t^2-1)

$$

と因数分解できるため、増減が明確に分かる。

答え

**(1)**

$$ S=a\left\{2(\log a)^2-4\log a+\frac{7}{2}\right\}-2

$$

**(2)**

最小値は

$$ 2\sqrt e-2

$$

であり、そのとき

$$ a=\sqrt e

$$

である。

最大値は

$$ \frac32e-2

$$

であり、そのとき

$$ a=e

$$

である。