解説

方針・初手

$f(x)$ は分母 $2+\sin x$ が常に正であるため、微分して符号を調べれば増減が分かる。

また、$g(t)$ は積分区間の両端が $t$ によって動くので、まず

$$ g'(t)=f(t+\pi)-f(t)

$$

を用いて増減を調べる。

解法1

まず、

$$ f(x)=\frac{\cos x}{2+\sin x}

$$

を微分する。商の微分法より、

$$ \begin{aligned} f'(x) &=\frac{-\sin x(2+\sin x)-\cos x\cdot \cos x}{(2+\sin x)^2} \\ &=\frac{-2\sin x-\sin^2 x-\cos^2 x}{(2+\sin x)^2} \\ &=-\frac{1+2\sin x}{(2+\sin x)^2} \end{aligned}

$$

である。

ここで、$0\leqq x\leqq 2\pi$ において $2+\sin x>0$ であるから、$f'(x)$ の符号は $-(1+2\sin x)$ の符号で決まる。

$$ f'(x)=0

$$

となるのは、

$$ 1+2\sin x=0

$$

すなわち

$$ \sin x=-\frac12

$$

であるから、

$$ x=\frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}

$$

である。

したがって、$f'(x)$ の符号は次のようになる。

| $x$ | $0$ | $\cdots$ | $\frac{7\pi}{6}$ | $\cdots$ | $\frac{11\pi}{6}$ | $\cdots$ | $2\pi$ | | ------- | --------: | :--------: | ------------------: | :--------: | -----------------: | :--------: | --------: | | $f'(x)$ | | $-$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | | | $f(x)$ | $\frac12$ | $\searrow$ | $-\frac{\sqrt3}{3}$ | $\nearrow$ | $\frac{\sqrt3}{3}$ | $\searrow$ | $\frac12$ |

実際、

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{7\pi}{6}\right) &= \frac{\cos\frac{7\pi}{6}}{2+\sin\frac{7\pi}{6}} \\ \frac{-\frac{\sqrt3}{2}}{2-\frac12} \\ -\frac{\sqrt3}{3} \end{aligned} $$

であり、

$$ \begin{aligned} f\left(\frac{11\pi}{6}\right) &= \frac{\cos\frac{11\pi}{6}}{2+\sin\frac{11\pi}{6}} \\ \frac{\frac{\sqrt3}{2}}{2-\frac12} \\ \frac{\sqrt3}{3} \end{aligned} $$

である。

よって、$f(x)$ は $x=\frac{7\pi}{6}$ で極小値 $-\frac{\sqrt3}{3}$ をとり、$x=\frac{11\pi}{6}$ で極大値 $\frac{\sqrt3}{3}$ をとる。

次に、$g(t)$ の増減を調べる。

$$ g(t)=\int_t^{t+\pi} f(x),dx

$$

であるから、積分区間の端点に注意して微分すると、

$$ g'(t)=f(t+\pi)-f(t)

$$

となる。

ここで、

$$ \begin{aligned} f(t+\pi) &= \frac{\cos(t+\pi)}{2+\sin(t+\pi)} \\ \frac{-\cos t}{2-\sin t} \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ \begin{aligned} g'(t) &= -\frac{\cos t}{2-\sin t}-\frac{\cos t}{2+\sin t} \\ &= -\cos t\left(\frac{1}{2-\sin t}+\frac{1}{2+\sin t}\right) \\ &= -\cos t\cdot \frac{4}{4-\sin^2 t} \\ &= -\frac{4\cos t}{4-\sin^2 t} \end{aligned}

$$

である。

$0\leqq t\leqq \pi$ において $4-\sin^2 t>0$ であるから、$g'(t)$ の符号は $-\cos t$ の符号で決まる。

よって、

$$ 0\leqq t<\frac{\pi}{2}

$$

では $\cos t>0$ より $g'(t)<0$ であり、$g(t)$ は減少する。

また、

$$ \frac{\pi}{2}<t\leqq \pi

$$

では $\cos t<0$ より $g'(t)>0$ であり、$g(t)$ は増加する。

したがって、$g(t)$ は

$$ t=\frac{\pi}{2}

$$

で極小となる。

最後に、$g(t)$ の極小値を求める。ここで

$$ f(x)=\frac{\cos x}{2+\sin x}

$$

は

$$ \log(2+\sin x)

$$

の導関数である。したがって、

$$ \begin{aligned} g(t) &=\int_t^{t+\pi}\frac{\cos x}{2+\sin x},dx \\ &=\left[\log(2+\sin x)\right]_t^{t+\pi} \\ &=\log(2+\sin(t+\pi))-\log(2+\sin t) \\ &=\log(2-\sin t)-\log(2+\sin t) \\ &=\log\frac{2-\sin t}{2+\sin t} \end{aligned}

$$

である。

極小となる $t=\frac{\pi}{2}$ を代入すると、

$$ \begin{aligned} g\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \log\frac{2-\sin\frac{\pi}{2}}{2+\sin\frac{\pi}{2}} \\ \log\frac{1}{3} \\ -\log 3 \end{aligned} $$

である。

解説

$f(x)$ の増減では、分母 $(2+\sin x)^2$ が常に正であることに注目する。したがって、符号判定は分子 $-(1+2\sin x)$ だけを見ればよい。

$g(t)$ については、直接積分してもよいが、増減を調べるには

$$ g'(t)=f(t+\pi)-f(t)

$$

を使うのが最も自然である。積分区間の長さは常に $\pi$ であるが、区間全体が $t$ によって動くため、上下端の寄与を差として考える必要がある。

答え

**(1)**

$$ f'(x)=-\frac{1+2\sin x}{(2+\sin x)^2}

$$

**(2)**

$f(x)$ は

$$ 0\leqq x<\frac{7\pi}{6}

$$

で減少し、

$$ \frac{7\pi}{6}<x<\frac{11\pi}{6}

$$

で増加し、

$$ \frac{11\pi}{6}<x\leqq 2\pi

$$

で減少する。

極小値は

$$ -\frac{\sqrt3}{3}

$$

であり、そのとき

$$ x=\frac{7\pi}{6}

$$

である。

極大値は

$$ \frac{\sqrt3}{3}

$$

であり、そのとき

$$ x=\frac{11\pi}{6}

$$

である。

**(3)**

$g(t)$ は

$$ 0\leqq t<\frac{\pi}{2}

$$

で減少し、

$$ \frac{\pi}{2}<t\leqq \pi

$$

で増加する。

したがって、$g(t)$ が極小となるのは

$$ t=\frac{\pi}{2}

$$

である。

**(4)**

$g(t)$ の極小値は

$$ -\log 3

$$

である。