解説

方針・初手

まず極方程式

$$ r=1+\cos\theta

$$

を

$$ x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta

$$

で媒介変数表示に直し、

$$ \frac{dx}{d\theta},\qquad \frac{dy}{d\theta}

$$

を調べる。

（2）は

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta}

$$

を用い、（4）は極方程式の弧長公式

$$ L=\int \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta

$$

で求める。

解法1

極方程式

$$ r=1+\cos\theta \qquad (0\leqq \theta\leqq 2\pi)

$$

より、

$$ x=(1+\cos\theta)\cos\theta,\qquad y=(1+\cos\theta)\sin\theta

$$

である。

（1）

まず

$$ \frac{dx}{d\theta} =-\sin\theta(1+\cos\theta)+\cos\theta(-\sin\theta) =-\sin\theta(1+2\cos\theta)

$$

だから、

$$ \frac{dx}{d\theta}=0 \iff \sin\theta=0 \quad \text{または}\quad \cos\theta=-\frac12

$$

である。

したがって

$$ \theta=0,\ \pi,\ 2\pi,\ \frac{2\pi}{3},\ \frac{4\pi}{3}

$$

を得る。これらに対応する点は

$$ \theta=0,\ 2\pi \Rightarrow (x,y)=(2,0), \qquad \theta=\pi \Rightarrow (x,y)=(0,0),

$$

$$ \theta=\frac{2\pi}{3}\Rightarrow (x,y)=\left(-\frac14,\ \frac{\sqrt3}{4}\right), \qquad \theta=\frac{4\pi}{3}\Rightarrow (x,y)=\left(-\frac14,\ -\frac{\sqrt3}{4}\right)

$$

である。

よって、

$$ \frac{dx}{d\theta}=0

$$

となる点は

$$ (2,0),\ (0,0),\ \left(-\frac14,\ \frac{\sqrt3}{4}\right),\ \left(-\frac14,\ -\frac{\sqrt3}{4}\right)

$$

である。

次に

$$ \frac{dy}{d\theta} =-\sin^2\theta+(1+\cos\theta)\cos\theta =2\cos^2\theta+\cos\theta-1 =(1+\cos\theta)(2\cos\theta-1)

$$

であるから、

$$ \frac{dy}{d\theta}=0 \iff \cos\theta=-1 \quad \text{または}\quad \cos\theta=\frac12

$$

である。

したがって

$$ \theta=\pi,\ \frac{\pi}{3},\ \frac{5\pi}{3}

$$

を得る。これらに対応する点は

$$ \theta=\pi \Rightarrow (x,y)=(0,0),

$$

$$ \theta=\frac{\pi}{3}\Rightarrow (x,y)=\left(\frac34,\ \frac{3\sqrt3}{4}\right), \qquad \theta=\frac{5\pi}{3}\Rightarrow (x,y)=\left(\frac34,\ -\frac{3\sqrt3}{4}\right)

$$

である。

よって、

$$ \frac{dy}{d\theta}=0

$$

となる点は

$$ (0,0),\ \left(\frac34,\ \frac{3\sqrt3}{4}\right),\ \left(\frac34,\ -\frac{3\sqrt3}{4}\right)

$$

である。

（2）

$$ \frac{dy}{dx} =\frac{(1+\cos\theta)(2\cos\theta-1)}{-\sin\theta(1+2\cos\theta)}

$$

である。

ここで

$$ \frac{1+\cos\theta}{\sin\theta} =\frac{2\cos^2(\theta/2)}{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)} =\cot\frac{\theta}{2}

$$

より、

$$ \frac{dy}{dx} =-\cot\frac{\theta}{2}\cdot \frac{2\cos\theta-1}{1+2\cos\theta}

$$

と変形できる。したがって

$$ \theta\to \pi

$$

のとき

$$ \cot\frac{\theta}{2}\to 0, \qquad \frac{2\cos\theta-1}{1+2\cos\theta}\to \frac{-3}{-1}=3

$$

であるから、

$$ \lim_{\theta\to\pi}\frac{dy}{dx}=0

$$

である。

（3）

曲線 $C$ は $x$ 軸対称で、原点に尖点をもつ右向きの心臓形である。

主な点は

$$ (2,0),\quad \left(\frac34,\ \pm\frac{3\sqrt3}{4}\right),\quad \left(-\frac14,\ \pm\frac{\sqrt3}{4}\right),\quad (0,0)

$$

である。

（4）

まず

$$ \frac{dr}{d\theta}=-\sin\theta

$$

であるから、弧長 $L$ は

$$ \begin{aligned} L &= \int_0^{2\pi} \sqrt{r^2+\left(\frac{dr}{d\theta}\right)^2}\,d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} \sqrt{(1+\cos\theta)^2+\sin^2\theta}\,d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} \sqrt{2+2\cos\theta}\,d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} 2\left|\cos\frac{\theta}{2}\right|\,d\theta \end{aligned}

$$

となる。

ここで $u=\dfrac{\theta}{2}$ とおくと、

$$ L =4\int_0^{\pi}|\cos u|\,du

$$

である。さらに

$$ \int_0^\pi |\cos u|\,du=2

$$

より、

$$ L=8

$$

となる。

解説

この問題では、極方程式をまず媒介変数表示に直すのが基本である。

（1）は

$$ x=(1+\cos\theta)\cos\theta,\qquad y=(1+\cos\theta)\sin\theta

$$

を微分すればよく、計算後は角度ではなく座標で答える点に注意する。

（2）は cusp に対応する $\theta=\pi$ で

$$ \frac{dy}{dx}

$$

の極限を見る問題であり、半角公式で

$$ \frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}=\cot\frac{\theta}{2}

$$

と直すとすぐに $0$ と分かる。

（4）は

$$ (1+\cos\theta)^2+\sin^2\theta=2+2\cos\theta=4\cos^2\frac{\theta}{2}

$$

という整理が決め手である。

答え

**（1）**

$$ \frac{dx}{d\theta}=0

$$

となる点は

$$ (2,0),\ (0,0),\ \left(-\frac14,\ \frac{\sqrt3}{4}\right),\ \left(-\frac14,\ -\frac{\sqrt3}{4}\right)

$$

である。

$$ \frac{dy}{d\theta}=0

$$

となる点は

$$ (0,0),\ \left(\frac34,\ \frac{3\sqrt3}{4}\right),\ \left(\frac34,\ -\frac{3\sqrt3}{4}\right)

$$

である。

**（2）**

$$ \lim_{\theta\to\pi}\frac{dy}{dx}=0

$$

**（3）**

$x$ 軸対称で、原点に尖点をもつ右向きの心臓形である。

**（4）**

曲線 $C$ の長さは

$$ 8

$$

である。