解説

方針・初手

曲線の長さは弧長公式

$$ L=\int_a^b \sqrt{1+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2},dx

$$

を用いる。ここでは $y=\log(1+\cos x)$ を微分すると、半角公式により integrand が簡単になる。

解法1

$y=\log(1+\cos x)$ より、

$$ \frac{dy}{dx} =\frac{-\sin x}{1+\cos x}

$$

である。ここで半角公式を用いると、

$$ \frac{\sin x}{1+\cos x} =\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2\cos^2 \frac{x}{2}} =\tan \frac{x}{2}

$$

となる。したがって、

$$ \frac{dy}{dx}=-\tan \frac{x}{2}

$$

である。

よって曲線の長さ $L$ は

$$ L=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1+\tan^2 \frac{x}{2}},dx

$$

となる。$0\le x\le \dfrac{\pi}{2}$ では $0\le \dfrac{x}{2}\le \dfrac{\pi}{4}$ であり、$\cos \dfrac{x}{2}>0$ だから、

$$ \sqrt{1+\tan^2 \frac{x}{2}} =\sqrt{\sec^2 \frac{x}{2}} =\sec \frac{x}{2}

$$

である。

したがって、

$$ L=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \sec \frac{x}{2},dx

$$

となる。ここで $u=\dfrac{x}{2}$ とおくと、$dx=2du$ であり、積分区間は $x=0$ のとき $u=0$、$x=\dfrac{\pi}{2}$ のとき $u=\dfrac{\pi}{4}$ である。

よって、

$$ L=2\int_0^{\frac{\pi}{4}} \sec u,du

$$

となる。$\sec u$ の積分公式

$$ \int \sec u,du=\log|\sec u+\tan u|+C

$$

を用いると、

$$ \begin{aligned} L &=2\left[\log|\sec u+\tan u|\right]_0^{\frac{\pi}{4}}\\ &=2\left\{\log\left(\sec\frac{\pi}{4}+\tan\frac{\pi}{4}\right)-\log(\sec0+\tan0)\right\}\\ &=2\left\{\log(\sqrt2+1)-\log 1\right\}\\ &=2\log(\sqrt2+1) \end{aligned}

$$

である。

解説

この問題の要点は、微分したあとに

$$ \frac{\sin x}{1+\cos x}=\tan\frac{x}{2}

$$

と変形できることにある。これにより、弧長公式の平方根の中が

$$ 1+\tan^2\frac{x}{2}=\sec^2\frac{x}{2}

$$

となり、計算が標準的な $\sec$ の積分に帰着する。

また、平方根を外すときには符号に注意が必要である。今回は $0\le x\le \dfrac{\pi}{2}$ なので $\sec\dfrac{x}{2}>0$ であり、そのまま

$$ \sqrt{\sec^2\frac{x}{2}}=\sec\frac{x}{2}

$$

としてよい。

答え

$$ 2\log(\sqrt2+1)

$$