解説

方針・初手

まず積分を実行して $f_n(x)$ を簡単な形に直す。すると $f_n(x)$ は $\sin x$ と $\cos x$ の式になり、最大・最小は微分して調べられる。

特に導関数は因数分解できるので、増減の判定が簡単になる。

解法1

まず $f_n(x)$ を計算する。

$$ \begin{aligned} f_n(x) &=\int_0^x {2n\cos^2\theta+(2n^2-1)\cos\theta-n},d\theta \\ &=\int_0^x {n(1+\cos2\theta)+(2n^2-1)\cos\theta-n},d\theta \\ &=\int_0^x {n\cos2\theta+(2n^2-1)\cos\theta},d\theta \\ &=\frac{n}{2}\sin2x+(2n^2-1)\sin x. \end{aligned}

$$

ここで $\sin2x=2\sin x\cos x$ より、

$$ f_n(x)=\sin x{n\cos x+2n^2-1}

$$

である。

また、

$$ \begin{aligned} f_n'(x) &=2n\cos^2x+(2n^2-1)\cos x-n \\ &=(2n\cos x-1)(\cos x+n) \end{aligned}

$$

となる。

(1) $f_1(x)$ の最大値・最小値

$n=1$ のとき、

$$ f_1(x)=\sin x(1+\cos x)

$$

である。また、

$$ f_1'(x)=(2\cos x-1)(\cos x+1)

$$

である。

区間 $0\leqq x\leqq 2\pi$ において、候補となる点は

$$ x=0,\ \frac{\pi}{3},\ \pi,\ \frac{5\pi}{3},\ 2\pi

$$

である。それぞれの値を求めると、

$$ f_1(0)=0,\quad f_1(\pi)=0,\quad f_1(2\pi)=0

$$

であり、

$$ f_1\left(\frac{\pi}{3}\right) =\sin\frac{\pi}{3}\left(1+\cos\frac{\pi}{3}\right) =\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac32 =\frac{3\sqrt3}{4}

$$

である。また、

$$ f_1\left(\frac{5\pi}{3}\right) =\sin\frac{5\pi}{3}\left(1+\cos\frac{5\pi}{3}\right) =-\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac32 =-\frac{3\sqrt3}{4}

$$

である。

したがって、区間 $0\leqq x\leqq 2\pi$ における $f_1(x)$ の最大値は

$$ \frac{3\sqrt3}{4}

$$

最小値は

$$ -\frac{3\sqrt3}{4}

$$

である。

(2) $0\leqq x\leqq \pi$ における $f_n(x)$ の最大値

区間 $0\leqq x\leqq \pi$ で考える。

導関数は

$$ f_n'(x)=(2n\cos x-1)(\cos x+n)

$$

である。

$n$ は自然数なので、$0<x<\pi$ において $\cos x+n>0$ である。ただし $n=1$ のときは $x=\pi$ で $\cos x+n=0$ となるが、これは端点である。

したがって、区間内部での増減は

$$ 2n\cos x-1

$$

の符号で決まる。

$$ 2n\cos x-1=0

$$

より、

$$ \cos x=\frac{1}{2n}

$$

である。ここで

$$ \alpha=\arccos\frac{1}{2n}

$$

とおくと、$0<\alpha<\pi$ である。

$0<x<\alpha$ では $\cos x>\dfrac{1}{2n}$ より $f_n'(x)>0$、$\alpha<x<\pi$ では $\cos x<\dfrac{1}{2n}$ より $f_n'(x)<0$ である。

したがって、$f_n(x)$ は $x=\alpha$ で最大となる。

このとき、

$$ \cos\alpha=\frac{1}{2n}

$$

であり、$0<\alpha<\pi$ だから

$$ \sin\alpha=\sqrt{1-\frac{1}{4n^2}}

$$

である。よって最大値 $M_n$ は

$$ \begin{aligned} M_n &=f_n(\alpha) \\ &=\sin\alpha{n\cos\alpha+2n^2-1} \\ &=\sqrt{1-\frac{1}{4n^2}}\left(\frac12+2n^2-1\right) \\ &=\sqrt{1-\frac{1}{4n^2}}\left(2n^2-\frac12\right). \end{aligned}

$$

これを整理すると、

$$ \begin{aligned} M_n &=\frac{4n^2-1}{2}\cdot \frac{\sqrt{4n^2-1}}{2n} \\ &=\frac{(4n^2-1)^{3/2}}{4n}. \end{aligned}

$$

したがって、

$$ M_n=\frac{(4n^2-1)^{3/2}}{4n}

$$

である。

(3) 極限

(2) より、

$$ \frac{M_n}{n^2} =\frac{(4n^2-1)^{3/2}}{4n^3}

$$

である。ここで、

$$ (4n^2-1)^{3/2} =(4n^2)^{3/2}\left(1-\frac{1}{4n^2}\right)^{3/2} =8n^3\left(1-\frac{1}{4n^2}\right)^{3/2}

$$

だから、

$$ \frac{M_n}{n^2} =2\left(1-\frac{1}{4n^2}\right)^{3/2}

$$

である。したがって、

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{M_n}{n^2} =2

$$

である。

解説

この問題の中心は、積分をそのまま扱わず、まず $f_n(x)$ を明示的に求めることである。被積分関数には $2n\cos^2\theta-n$ が含まれているが、$\cos^2\theta=\dfrac{1+\cos2\theta}{2}$ を用いると定数項が打ち消される。

また、導関数

$$ f_n'(x)=(2n\cos x-1)(\cos x+n)

$$

の因数分解が重要である。特に $0\leqq x\leqq \pi$ では $\cos x$ が単調に $1$ から $-1$ へ動くため、$\cos x=\dfrac{1}{2n}$ を境に増減が一度だけ切り替わる。これにより最大値を直接求められる。

答え

**(1)**

最大値は

$$ \frac{3\sqrt3}{4}

$$

最小値は

$$ -\frac{3\sqrt3}{4}

$$

である。

**(2)**

$$ M_n=\frac{(4n^2-1)^{3/2}}{4n}

$$

である。

**(3)**

$$ \lim_{n\to\infty}\frac{M_n}{n^2}=2

$$