解説

方針・初手

分母 $5+4\cos t$ は $\cos t\in[-1,1]$ より常に正である。したがって、距離や速さを求めるときに絶対値の扱いで迷う必要がない。

まず $x^2+y^2$ を調べると軌跡が分かる。すると （1） は直ちに処理でき、さらに （3） も （2） の速さと軌跡の長さを結びつけて求められる。

解法1

（1） 点 $P$ と原点 $O$ との距離を求める。

$P$ の座標は

$$ x=\frac{4+5\cos t}{5+4\cos t},\qquad y=\frac{3\sin t}{5+4\cos t}

$$

であるから、

$$ x^2+y^2 =\frac{(4+5\cos t)^2+9\sin^2 t}{(5+4\cos t)^2}

$$

となる。分子を整理すると、

$$ \begin{aligned} (4+5\cos t)^2+9\sin^2 t &=16+40\cos t+25\cos^2 t+9(1-\cos^2 t)\\ &=25+40\cos t+16\cos^2 t\\ &=(5+4\cos t)^2 \end{aligned}

$$

である。よって

$$ x^2+y^2=1

$$

となるので、

$$ OP=\sqrt{x^2+y^2}=1

$$

である。

したがって、点 $P$ は常に半径 $1$ の円周上にある。

（2） 速度 $\vec{v}=\left(\dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt}\right)$ と速さ $|\vec{v}|$ を求める。

まず $x$ を微分する。商の微分法より、

$$ \begin{aligned} \frac{dx}{dt} &=\frac{(-5\sin t)(5+4\cos t)-(4+5\cos t)(-4\sin t)}{(5+4\cos t)^2}\\ &=\frac{-25\sin t-20\sin t\cos t+16\sin t+20\sin t\cos t}{(5+4\cos t)^2}\\ &=-\frac{9\sin t}{(5+4\cos t)^2} \end{aligned}

$$

同様に、

$$ \begin{aligned} \frac{dy}{dt} &=\frac{3\cos t(5+4\cos t)-3\sin t(-4\sin t)}{(5+4\cos t)^2}\\ &=\frac{15\cos t+12\cos^2 t+12\sin^2 t}{(5+4\cos t)^2}\\ &=\frac{12+15\cos t}{(5+4\cos t)^2}\\ &=\frac{3(4+5\cos t)}{(5+4\cos t)^2} \end{aligned}

$$

したがって、

$$ \vec{v} =\left( -\frac{9\sin t}{(5+4\cos t)^2}, \frac{3(4+5\cos t)}{(5+4\cos t)^2} \right)

$$

である。

次に速さを求めると、

$$ \begin{aligned} |\vec{v}| &=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\\ &=\frac{\sqrt{81\sin^2 t+9(4+5\cos t)^2}}{(5+4\cos t)^2}\\ &=\frac{3\sqrt{9\sin^2 t+(4+5\cos t)^2}}{(5+4\cos t)^2} \end{aligned}

$$

ここで、

$$ 9\sin^2 t+(4+5\cos t)^2=(5+4\cos t)^2

$$

は （1） と同じ計算から分かる。よって、

$$ |\vec{v}|=\frac{3(5+4\cos t)}{(5+4\cos t)^2} =\frac{3}{5+4\cos t}

$$

である。

（3） 定積分

$$ \int_0^\pi \frac{dt}{5+4\cos t}

$$

を求める。

（2） より

$$ |\vec{v}|=\frac{3}{5+4\cos t}

$$

であるから、

$$ \int_0^\pi \frac{dt}{5+4\cos t} =\frac{1}{3}\int_0^\pi |\vec{v}|,dt

$$

となる。右辺の積分は、時刻 $t=0$ から $t=\pi$ までに点 $P$ が動く道のりである。

（1） より、点 $P$ は単位円 $x^2+y^2=1$ 上を動く。また、

$$ t=0 \Rightarrow (x,y)=(1,0),\qquad t=\pi \Rightarrow (x,y)=(-1,0)

$$

であり、さらに $0<t<\pi$ では $\sin t>0$ だから $y>0$ である。したがって、点 $P$ は単位円の上半円を動く。

よって道のりは上半円の長さ

$$ \pi

$$

であるから、

$$ \int_0^\pi \frac{dt}{5+4\cos t} =\frac{1}{3}\pi =\frac{\pi}{3}

$$

となる。

解説

この問題の本質は、与えられた媒介変数表示が見かけほど複雑ではなく、実は

$$ x^2+y^2=1

$$

を満たしていると見抜く点にある。これにより （1） は一瞬で終わり、（3） も積分計算を直接行わずに円弧の長さへ置き換えられる。

また、（2） の速さの計算でも、最後に再び

$$ (4+5\cos t)^2+9\sin^2 t=(5+4\cos t)^2

$$

を使うことで大きく簡単になる。式を力任せに処理するより、軌跡の幾何的意味を先に捉えるのが重要である。

答え

**(1)**

$$ OP=1

$$

**(2)**

$$ \vec{v} =\left( -\frac{9\sin t}{(5+4\cos t)^2}, \frac{3(4+5\cos t)}{(5+4\cos t)^2} \right)

$$

$$ |\vec{v}|=\frac{3}{5+4\cos t}

$$

**(3)**

$$ \int_0^\pi \frac{dt}{5+4\cos t}=\frac{\pi}{3}

$$