基礎問題集
数学3 積分法「体積」の問題4 解説
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解説
方針・初手
曲線上の点 $P=(x,y)$ における接線の傾きを $y'=\dfrac{dy}{dx}$ とおく。すると法線の傾きは $-\dfrac{1}{y'}$ であるから、法線の $x$ 切片と $y$ 切片をそれぞれ $Q,R$ の座標で表せる。
あとは「$P$ が線分 $QR$ を $4:9$ に内分する」という条件を座標で書けば、$x,y,y'$ の関係、すなわち微分方程式が得られる。
解法1
点 $P=(x,y)$ における接線の傾きを $y'=\dfrac{dy}{dx}$ とする。
このとき、法線の方程式は
$$ Y-y=-\frac{1}{y'}(X-x)
$$
である。
（1） 微分方程式
法線と $x$ 軸との交点を $Q$、$y$ 軸との交点を $R$ とする。
まず、$Q$ は $Y=0$ を満たすから、
$$ -y=-\frac{1}{y'}(X-x)
$$
より
$$ X=x+yy'
$$
となる。したがって
$$ Q=(x+yy',0)
$$
である。
次に、$R$ は $X=0$ を満たすから、
$$ Y-y=-\frac{1}{y'}(-x)=\frac{x}{y'}
$$
より
$$ R=\left(0,y+\frac{x}{y'}\right)
$$
である。
ここで、$P$ が線分 $QR$ を $4:9$ に内分するとは
$$ QP:PR=4:9
$$
ということであるから、内分点の公式より
$$ P=\frac{9Q+4R}{13}
$$
である。
$x$ 座標を比較すると
$$ x=\frac{9(x+yy')}{13}
$$
ゆえに
$$ 13x=9x+9yy'
$$
$$ 4x=9yy'
$$
したがって、曲線 $C$ の満たす微分方程式は
$$ \frac{dy}{dx}=\frac{4x}{9y}
$$
である。
（2） 曲線 $C$ の方程式
（1） の微分方程式
$$ \frac{dy}{dx}=\frac{4x}{9y}
$$
を解く。
$$ 9y,dy=4x,dx
$$
となるから、両辺を積分して
$$ \frac{9}{2}y^2=2x^2+C
$$
すなわち
$$ 9y^2-4x^2=C
$$
を得る。
曲線 $C$ は点 $(3,0)$ を通るので、
$$ 9\cdot 0^2-4\cdot 3^2=C
$$
より
$$ C=-36
$$
である。
よって、求める曲線の方程式は
$$ 9y^2-4x^2=-36
$$
すなわち
$$ 4x^2-9y^2=36
$$
である。
さらに $y\geqq 0$ より、第一象限にある部分は
$$ y=\frac{2}{3}\sqrt{x^2-9}\qquad (x\geqq 3)
$$
である。
（3） 回転体の体積
（2） で得た曲線は $x$ 軸と $(3,0)$ で交わるから、曲線 $C$、直線 $x=6$、および $x$ 軸で囲まれる部分は、$x=3$ から $x=6$ までの曲線の下側の部分である。
これを $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を $V$ とすると、円板法により
$$ V=\pi\int_3^6 y^2,dx
$$
である。
ここで
$$ y^2=\frac{4}{9}(x^2-9)
$$
であるから、
$$ V=\pi\int_3^6 \frac{4}{9}(x^2-9),dx
$$
$$ =\frac{4\pi}{9}\left[\frac{x^3}{3}-9x\right]_3^6
$$
$$ =\frac{4\pi}{9}\left\{\left(\frac{216}{3}-54\right)-\left(\frac{27}{3}-27\right)\right\}
$$
$$ =\frac{4\pi}{9}(18-(-18))
$$
$$ =\frac{4\pi}{9}\cdot 36
$$
$$ =16\pi
$$
したがって、求める体積は
$$ 16\pi
$$
である。
解説
この問題の要点は、法線に関する幾何条件を微分方程式に翻訳することである。接線の傾きを $y'$ とおけば、法線の傾きは $-\dfrac{1}{y'}$ となるので、法線の軸との交点を具体的に求められる。
そのうえで、$P$ が $QR$ を $4:9$ に内分するという条件を座標で処理すれば、$x,y,y'$ の関係式が得られる。以後は変数分離型微分方程式を解き、最後は回転体の体積公式
$$ V=\pi\int y^2,dx
$$
を用いるだけである。
答え
**(1)**
曲線 $C$ の満たす微分方程式は
$$ \frac{dy}{dx}=\frac{4x}{9y}
$$
である。
**(2)**
曲線 $C$ の方程式は
$$ 4x^2-9y^2=36
$$
すなわち
$$ y=\frac{2}{3}\sqrt{x^2-9}\qquad (x\geqq 3)
$$
である。
**(3)**
求める立体の体積は
$$ 16\pi
$$
である。