解説

方針・初手

水面の高さを $z=h(t)$ とみると，高さ $z$ における容器の断面積は，回転のもとの曲線 $y^2=(1+2z)e^{-z}$ からすぐに求まる。

毎秒体積 $1$ の割合で注水するので，

$$ \frac{dV}{dt}=1

$$

を用いれば $h(t)$ の微分方程式が得られる。

また，水面の上昇速度 $\dfrac{dh}{dt}$ は「流入量 $\div$ 断面積」であるから，その最小値は断面積が最大のときに実現する。

解法1

**(1)**

高さ $z$ における回転体の半径 $r(z)$ は

$$ r(z)=\sqrt{(1+2z)e^{-z}} \qquad (0\le z\le 3)

$$

である。

そこで

$$ r(z)^2=(1+2z)e^{-z}

$$

の増減をみると，

$$ \frac{d}{dz}{(1+2z)e^{-z}} =(1-2z)e^{-z}

$$

となるから，$z=\dfrac12$ までは増加し，$z=\dfrac12$ を過ぎると減少する。

したがって回転体 $K$ は，

• $z=0$ で底面半径が $1$
• 上に行くにつれて少しふくらみ
• $z=\dfrac12$ で最も太くなり
• その後は細くなって $z=3$ に達する

ような回転体である。

**(2)**

高さ $z=h(t)$ における水面の断面積 $A(h)$ は

$$ A(h)=\pi y^2=\pi(1+2h)e^{-h}

$$

である。

高さが $h$ から $h+dh$ に上がるときの体積増加は $A(h),dh$ であるから，

$$ \frac{dV}{dt}=A(h)\frac{dh}{dt}

$$

となる。注水量は毎秒 $1$ なので，

$$ A(h)\frac{dh}{dt}=1

$$

すなわち

$$ \pi(1+2h)e^{-h}\frac{dh}{dt}=1

$$

である。よって $h(t)$ の満たす微分方程式は

$$ \frac{dh}{dt} =\frac{e^h}{\pi(1+2h)}

$$

であり，初期条件は

$$ h(0)=0

$$

である。

**(3)**

上で求めた式より，

$$ \frac{dh}{dt} =\frac{1}{A(h)} =\frac{e^h}{\pi(1+2h)}

$$

である。したがって $\dfrac{dh}{dt}$ が最小となるのは，$A(h)$ が最大となるときである。

そこで

$$ A(h)=\pi(1+2h)e^{-h}

$$

を微分すると，

$$ A'(h)=\pi(1-2h)e^{-h}

$$

となるから，

$$ A'(h)=0 \iff h=\frac12

$$

である。さらに $0<h\le 3$ において $A'(h)$ は $0<h<\dfrac12$ で正， $\dfrac12<h\le 3$ で負だから， $h=\dfrac12$ で断面積は最大，したがって水面の上昇速度は最小となる。

次にこのときの $t$ を求める。時刻 $t$ までに入った水の体積は $t$ であり，これは高さ $h$ までの容積に等しいから，

$$ t=\pi\int_0^h (1+2z)e^{-z},dz

$$

である。

ここで

$$ \int (1+2z)e^{-z},dz =-(2z+3)e^{-z}+C

$$

より，

$$ t=\pi\left[ -(2z+3)e^{-z}\right]_0^h =\pi{3-(2h+3)e^{-h}}

$$

となる。$h=\dfrac12$ を代入すると，

$$ t=\pi\left(3-4e^{-1/2}\right) =\pi\left(3-\frac{4}{\sqrt e}\right)

$$

を得る。

解説

この問題の本質は，水面の上昇速度が容器のその高さでの断面積に反比例することである。

注水速度が一定なら，容器が太いところでは水面はゆっくり上がり，細いところでは速く上がる。したがって **上昇速度の最小** は **断面積の最大** に言い換えられる。

回転体の問題では，まず「高さ $z$ における半径」から「断面積」を作る，という流れが基本である。

答え

**(1)**

底面半径が $1$ で，$z=\dfrac12$ までふくらみ，その後は細くなって $z=3$ に達する回転体である。

**(2)**

$$ \pi(1+2h)e^{-h}\frac{dh}{dt}=1, \qquad h(0)=0

$$

すなわち

$$ \frac{dh}{dt}=\frac{e^h}{\pi(1+2h)}, \qquad h(0)=0

$$

である。

**(3)**

水面の上昇速度が最小となるのは

$$ h(t)=\frac12

$$

のときであり，そのとき

$$ t=\pi\left(3-\frac{4}{\sqrt e}\right)

$$

である。