解説

方針・初手

$x\log x$ は $0<x<1$ で負である。まず関数 $f(x)=x\log x$ の最小値を調べ、次に $\sqrt{x}$ を使った評価で $x\to +0$ の極限をはさみうちで求める。

回転体の体積は、$x$ 軸まわりなので半径が $|x\log x|$ であり、

$$ V(\alpha)=\pi\int_\alpha^1 (x\log x)^2,dx

$$

を計算すればよい。

解法1

まず

$$ f(x)=x\log x

$$

とおく。ただし $\log$ は自然対数である。

（1）

$0<x<1$ では $\log x<0$ であるから、

$$ x\log x<0

$$

である。

次に $f(x)=x\log x$ を微分すると、

$$ f'(x)=\log x+1

$$

である。よって

$$ f'(x)=0

$$

となるのは

$$ \log x=-1

$$

すなわち

$$ x=\frac{1}{e}

$$

のときである。

また、$0<x<\frac{1}{e}$ では $\log x<-1$ だから $f'(x)<0$、$\frac{1}{e}<x<1$ では $\log x>-1$ だから $f'(x)>0$ である。

したがって、$f(x)$ は $x=\frac{1}{e}$ で最小値をとり、

$$ f\left(\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}\log\frac{1}{e}=-\frac{1}{e}

$$

である。

よって、$0<x<1$ において

$$ -\frac{1}{e}\leqq x\log x<0

$$

が成り立つ。

（2）

$0<x<1$ とする。このとき $0<\sqrt{x}<1$ であるから、（1） を $\sqrt{x}$ に適用すると、

$$ -\frac{1}{e}\leqq \sqrt{x}\log\sqrt{x}<0

$$

である。

ここで

$$ \log\sqrt{x}=\frac{1}{2}\log x

$$

より、

$$ \begin{aligned} \sqrt{x}\log\sqrt{x} &= \frac{1}{2}\sqrt{x}\log x \end{aligned} $$

である。したがって、

$$ -\frac{1}{e} \leqq \frac{1}{2}\sqrt{x}\log x <0

$$

となる。

両辺に $2\sqrt{x}>0$ をかけると、

$$ -\frac{2}{e}\sqrt{x} \leqq x\log x <0

$$

が得られる。

また、$x\to +0$ のとき $\sqrt{x}\to 0$ であるから、

$$ -\frac{2}{e}\sqrt{x}\to 0

$$

である。よって

$$ -\frac{2}{e}\sqrt{x} \leqq x\log x <0

$$

にはさみうちの原理を用いると、

$$ \lim_{x\to +0}x\log x=0

$$

である。

（3）

$0<\alpha<1$ とする。$y=x\log x$ は $0<x<1$ で負であるが、$x$ 軸のまわりに回転したときの半径は

$$ |x\log x|

$$

である。したがって断面積は

$$ \pi (x\log x)^2

$$

である。

よって、求める体積 $V(\alpha)$ は

$$ V(\alpha)=\pi\int_\alpha^1 x^2(\log x)^2,dx

$$

である。

ここで部分積分を用いて

$$ \begin{aligned} \int x^2(\log x)^2,dx &= \frac{x^3}{3}(\log x)^2-\frac{2}{3}\int x^2\log x,dx \end{aligned} $$

である。また、

$$ \begin{aligned} \int x^2\log x,dx &= \frac{x^3}{3}\log x-\frac{1}{3}\int x^2,dx \\ \frac{x^3}{3}\log x-\frac{x^3}{9} \end{aligned} $$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} \int x^2(\log x)^2,dx &= \frac{x^3}{3}(\log x)^2 -\frac{2}{3}\left(\frac{x^3}{3}\log x-\frac{x^3}{9}\right)\\ &= \frac{x^3}{3}(\log x)^2-\frac{2x^3}{9}\log x+\frac{2x^3}{27} \end{aligned}

$$

である。

よって、

$$ \begin{aligned} V(\alpha) &= \pi\left[ \frac{x^3}{3}(\log x)^2-\frac{2x^3}{9}\log x+\frac{2x^3}{27} \right]_\alpha^1\\ &= \pi\left\{ \frac{2}{27} -\left( \frac{\alpha^3}{3}(\log\alpha)^2 -\frac{2\alpha^3}{9}\log\alpha +\frac{2\alpha^3}{27} \right) \right\}. \end{aligned}

$$

したがって、

$$ \begin{aligned} V(\alpha) &= \pi\left\{ \frac{2}{27} -\frac{\alpha^3}{3}(\log\alpha)^2 +\frac{2\alpha^3}{9}\log\alpha -\frac{2\alpha^3}{27} \right\} \end{aligned} $$

である。

（4）

（2） より

$$ \lim_{\alpha\to +0}\alpha\log\alpha=0

$$

である。

まず、

$$ \begin{aligned} \alpha^3(\log\alpha)^2 &= \alpha(\alpha\log\alpha)^2 \end{aligned} $$

であり、$\alpha\to +0$ のとき $\alpha\to 0$ かつ $\alpha\log\alpha\to 0$ だから、

$$ \alpha^3(\log\alpha)^2\to 0

$$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \alpha^3\log\alpha &= \alpha^2(\alpha\log\alpha) \end{aligned} $$

であり、これも

$$ \alpha^3\log\alpha\to 0

$$

である。

したがって、（3） で求めた

$$ \begin{aligned} V(\alpha) &= \pi\left\{ \frac{2}{27} -\frac{\alpha^3}{3}(\log\alpha)^2 +\frac{2\alpha^3}{9}\log\alpha -\frac{2\alpha^3}{27} \right\} \end{aligned} $$

において、$\alpha\to +0$ とすると、

$$ \begin{aligned} \lim_{\alpha\to +0}V(\alpha) &= \frac{2\pi}{27} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の中心は、$x\log x$ が $x\to +0$ で $0$ に近づくことを、微分やはさみうちで正確に示す点である。

（1） では $x\log x$ の最小値を微分で求める。（2） では $\sqrt{x}$ に （1） の評価を適用することで、$x\log x$ を $0$ に近づく量で下から評価している。

（3） では、グラフが $x$ 軸の下側にあっても、回転体の半径は $|y|$ であるため、断面積は $\pi y^2$ になる。したがって符号を気にせず $(x\log x)^2$ を積分すればよい。

（4） では、（2） で求めた $\alpha\log\alpha\to 0$ を利用すれば、$\alpha^3(\log\alpha)^2$ や $\alpha^3\log\alpha$ が $0$ に収束することを簡潔に示せる。

答え

**(1)**

$$ -\frac{1}{e}\leqq x\log x<0

$$

**(2)**

$$ -\frac{2}{e}\sqrt{x}\leqq x\log x<0

$$

また、

$$ \lim_{x\to +0}x\log x=0

$$

**(3)**

$$ \begin{aligned} V(\alpha) &= \pi\left\{ \frac{2}{27} -\frac{\alpha^3}{3}(\log\alpha)^2 +\frac{2\alpha^3}{9}\log\alpha -\frac{2\alpha^3}{27} \right\} \end{aligned} $$

**(4)**

$$ \lim_{\alpha\to +0}V(\alpha)=\frac{2\pi}{27}

$$