基礎問題集
数学3 積分法「体積」の問題47 解説
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解説
方針・初手
$V_1$ は円板法でそのまま積分すればよい。
$V_2$ は $y$ 軸まわりの回転体なので、$x$ を用いた円筒殻法で表すのが自然である。すると被積分関数 $f(x)$ がすぐ求まる。
解法1
まず $V_1$ を求める。
$x$ 軸のまわりの回転体であるから、
$$ V_1=\pi\int_0^{\frac{\pi}{2a}}\sin^2(ax),dx
$$
である。ここで $t=ax$ とおくと $dx=\dfrac{dt}{a}$ なので、
$$ V_1=\frac{\pi}{a}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 t,dt
$$
となる。さらに
$$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2 t,dt=\frac{\pi}{4}
$$
より、
$$ V_1=\frac{\pi}{a}\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi^2}{4a}
$$
である。したがって **①** は
$$ \frac{\pi^2}{4a}
$$
である。
次に、$y=\sin ax$ を微分すると
$$ \frac{dy}{dx}=a\cos ax
$$
である。したがって **②** は
$$ a\cos ax
$$
である。
つぎに $V_2$ を求める。領域を $y$ 軸のまわりに回転するので、$x$ を用いた円筒殻法により、半径は $x$、高さは $1-\sin ax$ である。よって
$$ V_2=\int_0^{\frac{\pi}{2a}}2\pi x(1-\sin ax),dx
$$
となる。したがって
$$ f(x)=2\pi x(1-\sin ax)
$$
であり、**③** は
$$ 2\pi x(1-\sin ax)
$$
である。
ここで $\int x\sin ax,dx$ を部分積分で求める。$u=x,\ dv=\sin ax,dx$ とすると、
$$ du=dx,\quad v=-\frac{1}{a}\cos ax
$$
だから、
$$ \int x\sin ax,dx =-\frac{x}{a}\cos ax+\frac{1}{a}\int \cos ax,dx
$$
$$ =-\frac{x}{a}\cos ax+\frac{1}{a^2}\sin ax+C
$$
$$ =\frac{1}{a^2}\left(-ax\cos ax+\sin ax\right)+C
$$
となる。よって **④** は
$$ -ax\cos ax+\sin ax
$$
である。
これを用いて $V_2$ を計算すると、
$$ V_2=2\pi\int_0^{\frac{\pi}{2a}}x(1-\sin ax),dx
$$
$$ =2\pi\left[\frac{x^2}{2}-\int x\sin ax,dx\right]_0^{\frac{\pi}{2a}}
$$
上で求めた原始関数を代入すると、
$$ \int_0^{\frac{\pi}{2a}}x\sin ax,dx =\left[\frac{1}{a^2}\left(-ax\cos ax+\sin ax\right)\right]_0^{\frac{\pi}{2a}} =\frac{1}{a^2}
$$
であるから、
$$ V_2 =2\pi\left(\frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2a}\right)^2-\frac{1}{a^2}\right)
$$
$$ =2\pi\left(\frac{\pi^2}{8a^2}-\frac{1}{a^2}\right) =\frac{\pi(\pi^2-8)}{4a^2}
$$
したがって **⑤** は
$$ \frac{\pi(\pi^2-8)}{4a^2}
$$
である。
最後に $V_1=V_2$ とすると、
$$ \frac{\pi^2}{4a}=\frac{\pi(\pi^2-8)}{4a^2}
$$
両辺に $4a^2$ をかけて、
$$ \pi^2 a=\pi(\pi^2-8)
$$
$$ a=\frac{\pi^2-8}{\pi}
$$
となる。したがって **⑥** は
$$ \frac{\pi^2-8}{\pi}
$$
である。
解説
$V_1$ は回転軸が $x$ 軸なので円板法で直接求めればよい。
一方、$V_2$ は $y$ 軸まわりであり、これを $y$ で積分しようとすると $x=\dfrac{1}{a}\arcsin y$ を使うことになる。ここでは $x$ をそのまま使って円筒殻法で処理すると、被積分関数が $2\pi x(1-\sin ax)$ と簡潔になり計算しやすい。
また、$\int x\sin ax,dx$ は部分積分の典型である。ここを正確に処理できるかが要点である。
答え
**(1)**
$$ \frac{\pi^2}{4a}
$$
**(2)**
$$ a\cos ax
$$
**(3)**
$$ 2\pi x(1-\sin ax)
$$
**(4)**
$$ -ax\cos ax+\sin ax
$$
**(5)**
$$ \frac{\pi(\pi^2-8)}{4a^2}
$$
**(6)**
$$ \frac{\pi^2-8}{\pi}
$$