解説

方針・初手

曲線 $C$ は極方程式

$$ r=2+\cos\theta \qquad (0\leqq \theta \leqq \pi)

$$

で表され、$0\leqq \theta \leqq \pi$ なので図形は $x$ 軸の上側にある。したがって、$C$ と $x$ 軸で囲まれる図形をそのまま極座標で表し、微小面積を $x$ 軸のまわりに回転させる方法が最も自然である。

極座標では面積要素が $r\,dr\,d\theta$ と書け、点 $(r,\theta)$ の $x$ 軸からの距離は $r\sin\theta$ である。これを用いて体積を求める。

解法1

$C$ と $x$ 軸で囲まれる領域を $D$ とする。このとき $D$ は

$$ 0\leqq \theta \leqq \pi,\qquad 0\leqq r\leqq 2+\cos\theta

$$

で表される。

領域 $D$ の微小部分 $r\,dr\,d\theta$ を考える。この部分は $x$ 軸から距離 $r\sin\theta$ だけ離れているから、これを $x$ 軸のまわりに回転すると、その微小体積 $dV$ は円筒殻の考え方より

$$ dV=2\pi (r\sin\theta)\cdot r\,dr\,d\theta =2\pi r^2\sin\theta\,dr\,d\theta

$$

となる。

したがって求める体積 $V$ は

$$ V=2\pi \int_0^\pi \int_0^{2+\cos\theta} r^2\sin\theta,dr,d\theta

$$

である。

まず $r$ について積分すると、

$$ V=2\pi \int_0^\pi \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^{2+\cos\theta}\sin\theta,d\theta =\frac{2\pi}{3}\int_0^\pi (2+\cos\theta)^3\sin\theta,d\theta

$$

となる。

ここで

$$ u=2+\cos\theta

$$

とおくと、

$$ du=-\sin\theta,d\theta

$$

であり、$\theta=0$ のとき $u=3$、$\theta=\pi$ のとき $u=1$ である。よって

$$ \begin{aligned} \int_0^\pi (2+\cos\theta)^3\sin\theta,d\theta &= -\int_3^1 u^3,du \\ \int_1^3 u^3,du \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int_1^3 u^3,du &= \left[\frac{u^4}{4}\right]_1^3 \\ \frac{3^4-1^4}{4} \\ \frac{81-1}{4} \\ 20 \end{aligned} $$

となる。

したがって

$$ V=\frac{2\pi}{3}\cdot 20=\frac{40\pi}{3}

$$

である。

解説

この問題では、図形が極方程式で与えられているので、直交座標に直してから断面積を求めるよりも、極座標のまま処理する方がはるかに簡潔である。

回転体の体積を求めるとき、極座標では

• 面積要素が $r\,dr\,d\theta$
• 回転軸からの距離が $r\sin\theta$

となるので、微小体積が

$$ 2\pi (r\sin\theta)\cdot r\,dr\,d\theta

$$

と書ける。この形をそのまま積分すればよい。

答え

求める体積は

$$ \frac{40\pi}{3}

$$

である。