解説

方針・初手

まず、区間 $0\le x\le \dfrac{\pi}{2}$ において、2曲線 $y=\cos(x-a)$ と $y=-\cos x$ の上下関係を確認する。

$0\le a<\dfrac{\pi}{2}$ であるから、$x-a\in\left[-a,\dfrac{\pi}{2}-a\right]\subset\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)$ となり、$\cos(x-a)\ge 0$ である。一方、$-\cos x\le 0$ であるから、この区間では常に

$$ \cos(x-a)\ge -\cos x

$$

であり、上側が $y=\cos(x-a)$、下側が $y=-\cos x$ である。

したがって、（1） の面積はそのまま上下の差を積分すればよい。 （2） はその式を $a$ で最大化する。 （3） は図形が $x$ 軸をまたいでいるので、回転すると各断面は円板になり、その半径は $x$ 軸から遠い方の曲線までの距離になる。この大小関係が途中で入れ替わるので、そこで場合分けする。

解法1

（1） 面積 $S$ を求める

面積は

$$ S=\int_0^{\pi/2}\left\{\cos(x-a)-(-\cos x)\right\},dx =\int_0^{\pi/2}\left\{\cos(x-a)+\cos x\right\},dx

$$

である。

これを計算すると、

$$ \begin{aligned} S &=\left[\sin(x-a)+\sin x\right]_0^{\pi/2} \\ &=\left(\sin\left(\frac{\pi}{2}-a\right)+1\right)-\left(\sin(-a)+0\right) \\ &=\cos a+1+\sin a \end{aligned}

$$

よって、

$$ S=1+\sin a+\cos a

$$

である。

（2） $S$ を最大にする $a$ と、そのときの $S$ を求める

（1） より

$$ S=1+\sin a+\cos a

$$

であるから、

$$ S'= \cos a-\sin a

$$

となる。したがって、

$$ S'=0 \iff \cos a=\sin a \iff a=\frac{\pi}{4}

$$

である。

さらに、

$$ S''=-\sin a-\cos a<0 \qquad \left(0\le a<\frac{\pi}{2}\right)

$$

より、$a=\dfrac{\pi}{4}$ で $S$ は最大になる。

そのとき、

$$ S=1+\sin\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{4} =1+\frac{\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2} =1+\sqrt2

$$

である。

よって、$S$ を最大にするのは

$$ a=\frac{\pi}{4}

$$

であり、その最大値は

$$ 1+\sqrt2

$$

である。

（3） 回転体の体積 $V$ を求める

図形 $G$ は $x$ 軸をまたいでいるので、各 $x$ における縦の線分を $x$ 軸のまわりに回転すると、断面は円板になる。

その半径は

$$ \max{\cos(x-a),\cos x}

$$

である。

そこで $\cos(x-a)$ と $\cos x$ の大小を調べる。

$$ \begin{aligned} \cos(x-a)-\cos x &=-2\sin\left(\frac{(x-a)+x}{2}\right)\sin\left(\frac{(x-a)-x}{2}\right) \\ &=2\sin\left(x-\frac a2\right)\sin\frac a2 \end{aligned}

$$

ここで $0\le a<\dfrac{\pi}{2}$ なので $\sin\dfrac a2\ge 0$ である。したがって符号は $\sin\left(x-\dfrac a2\right)$ で決まり、

• $0\le x<\dfrac a2$ では $\cos(x-a)<\cos x$
• $x=\dfrac a2$ では $\cos(x-a)=\cos x$
• $\dfrac a2<x\le \dfrac{\pi}{2}$ では $\cos(x-a)>\cos x$

となる。

ゆえに体積は

$$ V=\pi\int_0^{a/2}\cos^2x,dx+\pi\int_{a/2}^{\pi/2}\cos^2(x-a),dx

$$

である。

まず、

$$ \int \cos^2x,dx=\frac x2+\frac{\sin2x}{4}

$$

を用いると、

$$ \begin{aligned} \int_0^{a/2}\cos^2x,dx &=\left[\frac x2+\frac{\sin2x}{4}\right]_0^{a/2} \\ &=\frac a4+\frac{\sin a}{4} \end{aligned}

$$

また、

$$ \begin{aligned} \int_{a/2}^{\pi/2}\cos^2(x-a),dx &=\left[\frac{x-a}{2}+\frac{\sin(2x-2a)}{4}\right]_{a/2}^{\pi/2} \\ &=\left(\frac{\pi}{4}-\frac a2+\frac{\sin2a}{4}\right)-\left(-\frac a4-\frac{\sin a}{4}\right) \\ &=\frac{\pi}{4}-\frac a4+\frac{\sin2a}{4}+\frac{\sin a}{4} \end{aligned}

$$

したがって、

$$ \begin{aligned} V &=\pi\left(\frac a4+\frac{\sin a}{4}+\frac{\pi}{4}-\frac a4+\frac{\sin2a}{4}+\frac{\sin a}{4}\right) \\ &=\pi\left(\frac{\pi}{4}+\frac{2\sin a+\sin2a}{4}\right) \end{aligned}

$$

よって、

$$ V=\frac{\pi}{4}\left(\pi+2\sin a+\sin2a\right)

$$

である。

解説

この問題の要点は、面積では上下関係、回転体では $x$ 軸からの距離の大小関係を見る点にある。

面積については $\cos(x-a)\ge 0$、$-\cos x\le 0$ がすぐ分かるので、そのまま積分すればよい。 一方、回転体では単純に「上の曲線と下の曲線」で考えると誤る。図形が $x$ 軸をまたいでいるため、回転後の断面は円環ではなく円板であり、半径は $x$ 軸から遠い方で決まる。

したがって （3） では $\cos(x-a)$ と $\cos x$ の比較を行い、その大小が $x=\dfrac a2$ で入れ替わることを押さえるのが本質である。

答え

$$ \textbf{(1)}\quad S=1+\sin a+\cos a

$$

$$ \textbf{(2)}\quad S\text{ を最大にする }a=\frac{\pi}{4},\qquad S_{\max}=1+\sqrt2

$$

$$ \textbf{(3)}\quad V=\frac{\pi}{4}\left(\pi+2\sin a+\sin2a\right)

$$