解説

方針・初手

回転軸は $x$ 軸であり、考える図形は $y=\sqrt{3}\sin x$ と $y=\cos x$ の間にある。

ただし、この区間では $y=\sqrt{3}\sin x$ は正、 $y=\cos x$ は $0$ 以下であるから、 そのまま回転すると断面は「穴のあいた円環」ではなく「円板」になる。

したがって、各 $x$ における断面の半径は $\sqrt{3}\sin x$ と $-\cos x$ のうち大きい方である。 まず両者が等しくなる点を求め、場合分けして体積を積分で求める。

解法1

まず、断面の半径が切り替わる点を求める。

$$ \sqrt{3}\sin x=-\cos x

$$

$$ \tan x=-\frac{1}{\sqrt{3}}

$$

区間 $\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq \pi$ においては

$$ x=\frac{5\pi}{6}

$$

である。

実際、 $x=\dfrac{\pi}{2}$ では $\sqrt{3}\sin x=\sqrt{3}$、$-\cos x=0$ なので 前半では $\sqrt{3}\sin x$ の方が大きい。 また $x=\pi$ では $\sqrt{3}\sin x=0$、$-\cos x=1$ なので 後半では $-\cos x$ の方が大きい。

よって、断面積 $S(x)$ は

**(i)**

$\dfrac{\pi}{2}\leqq x\leqq \dfrac{5\pi}{6}$ のとき

$$ S(x)=\pi(\sqrt{3}\sin x)^2=3\pi\sin^2 x

$$

**(ii)**

$\dfrac{5\pi}{6}\leqq x\leqq \pi$ のとき

$$ S(x)=\pi(-\cos x)^2=\pi\cos^2 x

$$

したがって、求める体積 $V$ は

$$ V=\pi\int_{\pi/2}^{5\pi/6}3\sin^2 x,dx+\pi\int_{5\pi/6}^{\pi}\cos^2 x,dx

$$

である。

ここで

$$ \int \sin^2 x,dx=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}, \qquad \int \cos^2 x,dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}

$$

を用いると、

$$ \pi\int_{\pi/2}^{5\pi/6}3\sin^2 x,dx =3\pi\left[\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}\right]_{\pi/2}^{5\pi/6}

$$

$$ =3\pi\left(\frac{5\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{8}-\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\pi^2}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{8}\pi

$$

また、

$$ \pi\int_{5\pi/6}^{\pi}\cos^2 x,dx =\pi\left[\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}\right]_{5\pi/6}^{\pi}

$$

$$ =\pi\left(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{8}\right) =\frac{\pi^2}{12}+\frac{\sqrt{3}}{8}\pi

$$

ゆえに

$$ V=\left(\frac{\pi^2}{2}+\frac{3\sqrt{3}}{8}\pi\right)+\left(\frac{\pi^2}{12}+\frac{\sqrt{3}}{8}\pi\right)

$$

$$ V=\frac{7\pi^2}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}\pi

$$

したがって、

$$ V=\frac{\pi}{12}(7\pi+6\sqrt{3})

$$

である。

解説

この問題の要点は、回転後の断面が円環ではなく円板になることを正しく捉えることである。

上側の曲線が $y=\sqrt{3}\sin x>0$、下側の曲線が $y=\cos x\leqq 0$ であり、図形が $x$ 軸をまたいでいるため、回転すると中心まで埋まる。 そのため「上半径の二乗から下半径の二乗を引く」のではなく、「原点から最も遠い方の距離の二乗」を使って場合分けする必要がある。

答え

求める体積は

$$ \frac{7\pi^2}{12}+\frac{\sqrt{3}}{2}\pi =\frac{\pi}{12}(7\pi+6\sqrt{3})

$$

である。