解説

方針・初手

面積はそのまま定積分で求めればよい。

また、$x$軸まわりの回転体は円板法、$y$軸まわりの回転体は円筒殻法を用いると計算が素直になる。曲線は

$$ y=x+\frac{1}{\sqrt{x}} \qquad (1\leqq x\leqq 4)

$$

であるから、まずこの関数を $x=1$ から $x=4$ まで積分する。

解法1

求める面積 $S$ は

$$ S=\int_1^4 \left(x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right),dx

$$

である。

積分すると

$$ \int \left(x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right),dx =\frac{x^2}{2}+2\sqrt{x}

$$

より、

$$ \begin{aligned} S &=\left[\frac{x^2}{2}+2\sqrt{x}\right]_1^4 \\ &=\left( \frac{16}{2}+2\cdot 2 \right)-\left( \frac12+2 \right) \\ &=(8+4)-\frac52 \\ &=\frac{19}{2} \end{aligned}

$$

したがって、面積は

$$ [ク]=\frac{19}{2}

$$

である。

次に、これを $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を $V_x$ とする。円板法より

$$ V_x=\pi \int_1^4 \left(x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2 dx

$$

である。

被積分関数を展開すると

$$ \left(x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2=x^2+2\sqrt{x}+\frac{1}{x}

$$

だから、

$$ V_x=\pi \int_1^4 \left(x^2+2\sqrt{x}+\frac{1}{x}\right)dx

$$

となる。各項を積分して

$$ \int \left(x^2+2\sqrt{x}+\frac{1}{x}\right)dx =\frac{x^3}{3}+\frac{4}{3}x^{3/2}+\log x

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} V_x &=\pi \left[\frac{x^3}{3}+\frac{4}{3}x^{3/2}+\log x\right]_1^4 \\ &=\pi \left\{ \left(\frac{64}{3}+\frac{4}{3}\cdot 8+\log 4\right)-\left(\frac13+\frac43+\log 1\right) \right\} \\ &=\pi \left\{ \left(\frac{64}{3}+\frac{32}{3}+\log 4\right)-\frac53 \right\} \\ &=\pi \left( \frac{91}{3}+\log 4 \right) \end{aligned}

$$

よって、

$$ [ケ]=\pi\left(\frac{91}{3}+\log 4\right)

$$

である。

さらに、これを $y$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積を $V_y$ とする。円筒殻法を用いると、半径は $x$、高さは $x+\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ であるから、

$$ V_y=2\pi \int_1^4 x\left(x+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx

$$

となる。

整理すると

$$ V_y=2\pi \int_1^4 \left(x^2+\sqrt{x}\right)dx

$$

であり、

$$ \int \left(x^2+\sqrt{x}\right)dx=\frac{x^3}{3}+\frac{2}{3}x^{3/2}

$$

だから、

$$ \begin{aligned} V_y &=2\pi \left[\frac{x^3}{3}+\frac{2}{3}x^{3/2}\right]_1^4 \\ &=2\pi \left\{ \left(\frac{64}{3}+\frac{2}{3}\cdot 8\right)-\left(\frac13+\frac23\right) \right\} \\ &=2\pi \left( \frac{80}{3}-1 \right) \\ &=2\pi \cdot \frac{77}{3} \\ &=\frac{154\pi}{3} \end{aligned}

$$

したがって、

$$ [コ]=\frac{154\pi}{3}

$$

である。

解説

この問題では、面積は通常の定積分、$x$軸まわりは半径がそのまま関数値になるので円板法、$y$軸まわりは半径が $x$、高さが関数値になるので円筒殻法を用いるのが最も自然である。

特に $y$ 軸まわりの回転体で無理に $y$ について処理しようとすると煩雑になる。区間が $x$ で与えられているので、$x$ のまま殻の体積

$$ 2\pi \times \text{半径} \times \text{高さ} \times dx

$$

で処理するのが典型である。

答え

$$ [ク]=\frac{19}{2},\qquad [ケ]=\pi\left(\frac{91}{3}+\log 4\right),\qquad [コ]=\frac{154\pi}{3}

$$