解説

方針・初手

各 $\theta$ に対する線分 $PQ$ の方程式を求め，$x$ を固定したときにその線分上の点の $y$ 座標がどこまで達するかを調べる。

すると，領域 $D$ は「各 $x$ に対して $0 \le y \le y_{\max}(x)$」という形で表せるので，あとはその上端 $y_{\max}(x)$ を用いて回転体の体積を積分で求めればよい。

解法1

点 $P(0,\sin\theta)$，$Q(8\cos\theta,0)$ を結ぶ線分 $PQ$ を考える。

この線分上で，$x$ 座標が与えられたときの $y$ 座標は

$$ y=\sin\theta-\frac{x}{8}\tan\theta

$$

である。ただし，この点が線分上に存在するためには

$$ 0\le x\le 8\cos\theta

$$

でなければならない。

ここで $x$ を固定する。すると $\theta$ は

$$ 0\le \theta\le \arccos\frac{x}{8}

$$

の範囲を動く。このとき

$$ f(\theta)=\sin\theta-\frac{x}{8}\tan\theta

$$

とおくと，線分 $PQ$ がその $x$ において通過する高さは $y=f(\theta)$ で表される。

しかも

$$ f(0)=0,\qquad f\left(\arccos\frac{x}{8}\right)=0

$$

であり，$f(\theta)$ は連続であるから，この $x$ において領域 $D$ は

$$ 0\le y\le \max f(\theta)

$$

となる。したがって，まず $f(\theta)$ の最大値を求めればよい。

$f'(\theta)$ を計算すると

$$ f'(\theta)=\cos\theta-\frac{x}{8}\sec^2\theta

$$

である。よって極値の条件は

$$ \cos\theta=\frac{x}{8}\sec^2\theta

$$

すなわち

$$ \cos^3\theta=\frac{x}{8}

$$

である。

ここで

$$ \cos\theta=\left(\frac{x}{8}\right)^{1/3}

$$

とおく。このとき

$$ \sin^2\theta=1-\left(\frac{x}{8}\right)^{2/3}

$$

より

$$ \sin\theta=\sqrt{1-\left(\frac{x}{8}\right)^{2/3}}

$$

である。

さらに $\dfrac{x}{8}=\cos^3\theta$ を用いると

$$ f(\theta) =\sin\theta-\cos^3\theta\tan\theta =\sin\theta-\cos^2\theta\sin\theta =\sin\theta(1-\cos^2\theta) =\sin^3\theta

$$

となる。したがって

$$ y_{\max}(x) =\left(1-\left(\frac{x}{8}\right)^{2/3}\right)^{3/2} \qquad (0\le x\le 8)

$$

である。

よって，領域 $D$ を $x$ 軸のまわりに回転してできる立体の体積 $V$ は

$$ V=\pi\int_0^8 y_{\max}(x)^2,dx =\pi\int_0^8 \left(1-\left(\frac{x}{8}\right)^{2/3}\right)^3 dx

$$

となる。

ここで

$$ x=8u^3 \quad (0\le u\le 1)

$$

とおくと

$$ dx=24u^2,du

$$

であるから，

$$ \begin{aligned} V &=\pi\int_0^1 (1-u^2)^3\cdot 24u^2,du \\ &=24\pi\int_0^1 \left(u^2-3u^4+3u^6-u^8\right),du \\ &=24\pi\left(\frac13-\frac35+\frac37-\frac19\right) \\ &=24\pi\cdot \frac{16}{315} \\ &=\frac{128\pi}{105}. \end{aligned}

$$

解説

この問題の要点は，線分の通過領域 $D$ を直接図形として当てにいかず，「$x$ を固定したときにどこまで上に届くか」を考えることである。

各 $\theta$ に対する線分の式を書けば，固定した $x$ における高さは $\theta$ の関数になる。その最大値を求めると，領域 $D$ の上端は

$$ y=\left(1-\left(\frac{x}{8}\right)^{2/3}\right)^{3/2}

$$

で与えられる。したがって，あとは通常の回転体の体積計算に帰着する。

答え

$$ V=\frac{128\pi}{105}

$$