解説

方針・初手

高さ $z$ を固定して切り口を考える。

$V_A$ は「線分 $OA$ 上の点」と「平面 $z=0$ 上の半径 $1$ の円板」との和としてできる立体であり、同様に $V_B$ も考えられる。したがって、各高さ $z$ における $V$ の切り口は、平面内の半径 $1$ の2つの円板の共通部分になる。

よって、まず平面 $z=\text{一定}$ における $V_A,\ V_B$ の切り口を具体的に求め、その2円の中心間距離から共通部分の面積を出す。

解法1

線分 $OA$ 上の点 $P$ は

$$ P=(t,0,t)\qquad (0\le t\le 1)

$$

と表せる。また、円 $W$ の周および内部の点 $Q$ は

$$ Q=(x,y,0)\qquad (x^2+y^2\le 1)

$$

と表せるから、

$$ R=P+Q=(t+x,\ y,\ t)

$$

である。したがって、高さ $z=t$ における $V_A$ の切り口は、平面 $z=t$ 内で中心 $(t,0)$、半径 $1$ の円板である。

同様に、線分 $OB$ 上の点 $P$ は

$$ P=(0,\sqrt{3}t,t)\qquad (0\le t\le 1)

$$

と表せるので、高さ $z=t$ における $V_B$ の切り口は、平面 $z=t$ 内で中心 $(0,\sqrt{3}t)$、半径 $1$ の円板である。

よって、高さ $z$ における立体 $V=V_A\cap V_B$ の切り口は、半径 $1$ の2円

$$ (x-z)^2+y^2\le 1,\qquad x^2+(y-\sqrt{3}z)^2\le 1

$$

の共通部分である。

（1） 切り口の面積

平面 $z=\cos\theta\ \left(0\le \theta\le \dfrac{\pi}{2}\right)$ で切ったとき、2円の中心をそれぞれ $C_A,\ C_B$ とすると、

$$ C_A=(\cos\theta,0),\qquad C_B=(0,\sqrt{3}\cos\theta)

$$

であるから、その距離 $d$ は

$$ d=\sqrt{(\cos\theta)^2+(\sqrt{3}\cos\theta)^2}=2\cos\theta

$$

となる。

2円はともに半径 $1$ である。共通部分の両端の交点を結ぶと、各中心で張る角を $2\theta$ とみなせる。実際、

$$ \cos\theta=\frac{d}{2}=\frac{2\cos\theta}{2}

$$

となり、中心角の半分がちょうど $\theta$ になる。

したがって、共通部分の面積は

「半径 $1$、中心角 $2\theta$ の扇形」2個から 「それぞれの二等辺三角形」2個を引いたものだから、

$$ 2\left(\frac{1}{2}\cdot 1^2\cdot 2\theta-\frac{1}{2}\cdot 1^2\sin 2\theta\right)

$$

となる。よって切り口の面積 $S(\theta)$ は

$$ S(\theta)=2\theta-\sin 2\theta

$$

である。

（2） 立体 $V$ の体積

高さ $z=\cos\theta$ とおくと、

$$ dz=-\sin\theta,d\theta

$$

である。$z$ が $0$ から $1$ まで動くとき、$\theta$ は $\dfrac{\pi}{2}$ から $0$ まで動くので、体積は

$$ \begin{aligned} \int_0^1 S(z),dz &= \int_{\pi/2}^0 \left(2\theta-\sin 2\theta\right)(-\sin\theta),d\theta \end{aligned} $$

すなわち

$$ \int_0^{\pi/2}\left(2\theta-\sin 2\theta\right)\sin\theta,d\theta

$$

で与えられる。

これを2つに分けて計算する。

まず、

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}2\theta\sin\theta,d\theta &= 2\left[-\theta\cos\theta+\sin\theta\right]_0^{\pi/2} =2 \end{aligned} $$

である。

また、

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}\sin 2\theta\sin\theta,d\theta &= \int_0^{\pi/2}2\sin^2\theta\cos\theta,d\theta \end{aligned} $$

ここで $u=\sin\theta$ とおけば、

$$ \begin{aligned} \int_0^{\pi/2}2\sin^2\theta\cos\theta,d\theta &= 2\int_0^1 u^2,du \\ \frac{2}{3} \end{aligned} $$

となる。

したがって、

$$ \operatorname{Vol}(V)=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}

$$

である。

解説

この問題の要点は、立体そのものを3次元で直接追うのではなく、「高さ $z$ を固定した切り口」で考えることである。

$V_A,\ V_B$ はどちらも、各高さで半径 $1$ の円板になる。そのため、共通部分 $V$ の切り口は「半径 $1$ の2円の重なり」に帰着される。中心間距離が $2\cos\theta$ となるように変数を $z=\cos\theta$ と置くと、レンズ形の面積が

$$ 2\theta-\sin 2\theta

$$

ときれいに表せ、そのまま体積積分へ進める。

答え

**(1)**

平面 $z=\cos\theta\ \left(0\le \theta\le \dfrac{\pi}{2}\right)$ による切り口の面積は

$$ 2\theta-\sin 2\theta

$$

である。

**(2)**

立体 $V$ の体積は

$$ \frac{4}{3}

$$

である。